2 Değişken, İfade ve Denklem

Cebirin üç temel kelimesi — başlangıç noktası

Denklem çözmeye geçmeden önce üç kelime: değişken, ifade, denklem. Cebirin en temel sözlüğü — ve en sık karıştırılan üçlü. Bu ayrımı bir kez oturtursan, gerisi çok daha kolay gelir.

2.1 Değişken

Değişken, bilmediğimiz ya da değişebilen bir sayının yerini tutan harftir: $x$, $y$, $n$. Harf kullanmamızın sebebi, bir sayıyı henüz bilmesek de onunla işlem yapabilmek ve genel kurallar yazabilmektir. Örneğin “bir sayının 2 katının 3 fazlası” ifadesini $2x + 3$ diye yazarız.

2.2 İfade

İfade; sayıların, değişkenlerin ve işlemlerin birleşimidir — ama eşittir işareti yoktur. Bir değeri temsil eder (değişkene bağlı olarak değişir). İfadeyi hesaplarsın ya da sadeleştirirsin, ama “çözmezsin”. Örneğin $2x + 3$ bir ifadedir; $x = 5$ koyunca değeri $2(5) + 3 = 13$ olur.

2.3 Denklem

Denklem, iki ifadeyi eşittir ile birleştiren ifadedir: $2x + 3 = 7$. Bu, $x$’in değerine göre doğru ya da yanlış olabilen bir iddiadır; “çözmek”, onu doğru yapan $x$’i bulmaktır (burada $x = 2$).

Şekil 2.1: Bir denklemin parçaları: katsayı, değişken ve sabit. Eşittir işaretinin solu bir ifadedir; eşittir işareti bunu bir denkleme çevirir.

Yukarıdaki $2x + 3 = 7$ denkleminde: $2$ değişkenin katsayısı, $x$ değişken, $3$ sabit terimdir. $2x$ ve $3$ ise birer terimdir.

2.4 İfade mi, denklem mi?

Tek bir soru ayırır:

Eşittir işareti yok → ifade. Onu hesaplar veya sadeleştirirsin.
Eşittir işareti var → denklem. Onu çözer (bilinmeyeni bulur)sun.

Örneğin $3x - 1$ bir ifadedir; $3x - 1 = 8$ bir denklemdir.

Tek ayrım

Eşittir işareti yoksa ifadedir (hesaplanır/sadeleştirilir); eşittir işareti varsa denklemdir (çözülür). Bu tek ayrım, başlangıçtaki kafa karışıklığının çoğunu önler.

İki tuzak

İfadeyi “çözemezsin” — çözülecek bir eşitlik yok; ifadeyi yalnızca hesaplarsın.
$2x$, $2 \cdot x$ demektir; bitişik yazım çarpımı gizler (çarpı işareti yazılmaz).

2.5 Örnek

Örnek 1. “Bir sayının 5 fazlası” → $x + 5$ (ifade).

Örnek 2. $2x + 1$ ifadesini $x = 4$ için hesapla: $2(4) + 1 = 9$.

Örnek 3. “Bir sayının 2 katı 10’a eşittir” → $2x = 10$ (denklem).

ML köprüsü

Makine öğrenmesinde çözmeye çalıştığımız bilinmeyenler, modelin parametreleridir (ağırlıklar). Bir modelin formülü — örneğin $wx + b$ — bir ifadedir; eğitim, bu ifadeyi veriye uydurmak için en iyi $w$ ve $b$ değerlerini arayan bir problem kurar. Yani “değişkeni izole edip bulma” fikri, doğrudan “parametreyi öğrenme” fikrine dönüşür.

2.6 Alıştırmalar

“Bir sayının 5 fazlası” ifadesini $x$ ile yaz.
$3x - 2$ bir ifade mi, denklem mi?
$3x - 2 = 7$ bir ifade mi, denklem mi?
$2x + 1$ ifadesini $x = 4$ için hesapla.
$5x + 3$ ifadesinde katsayı ve sabit nedir?
“Bir sayının 2 katı 10’a eşittir” cümlesini denklem olarak yaz.

Çözümler (önce kendin dene, sonra aç)

$x + 5$
İfade (eşittir işareti yok → hesaplanır, çözülmez)
Denklem (eşittir işareti var → $x$ çözülür)
$2(4) + 1 = 9$
Katsayı $5$, sabit $3$
$2x = 10$

Sonraki ders: Denklem Mantığı (doğrusal denklemler).

--- title: "Değişken, İfade ve Denklem" subtitle: "Cebirin üç temel kelimesi — başlangıç noktası" --- Denklem çözmeye geçmeden önce üç kelime: **değişken**, **ifade**, **denklem**. Cebirin en temel sözlüğü — ve en sık karıştırılan üçlü. Bu ayrımı bir kez oturtursan, gerisi çok daha kolay gelir. ## Değişken Değişken, bilmediğimiz ya da değişebilen bir sayının yerini tutan **harftir**: $x$, $y$, $n$. Harf kullanmamızın sebebi, bir sayıyı henüz bilmesek de onunla işlem yapabilmek ve genel kurallar yazabilmektir. Örneğin "bir sayının 2 katının 3 fazlası" ifadesini $2x + 3$ diye yazarız. ## İfade İfade; sayıların, değişkenlerin ve işlemlerin birleşimidir — ama **eşittir işareti yoktur**. Bir değeri temsil eder (değişkene bağlı olarak değişir). İfadeyi *hesaplarsın* ya da *sadeleştirirsin*, ama "çözmezsin". Örneğin $2x + 3$ bir ifadedir; $x = 5$ koyunca değeri $2(5) + 3 = 13$ olur. ## Denklem Denklem, iki ifadeyi **eşittir** ile birleştiren ifadedir: $2x + 3 = 7$. Bu, $x$'in değerine göre doğru ya da yanlış olabilen bir iddiadır; "çözmek", onu doğru yapan $x$'i bulmaktır (burada $x = 2$). ```{python} #| label: fig-denklem-anatomi #| fig-cap: "Bir denklemin parçaları: katsayı, değişken ve sabit. Eşittir işaretinin solu bir ifadedir; eşittir işareti bunu bir denkleme çevirir." #| echo: false import matplotlib.pyplot as plt fig, ax = plt.subplots(figsize=(7.5, 3.8)) y0 = 0.5 ax.text(0.20, y0, "2", fontsize=36, ha="center", va="center", color="#D97706", transform=ax.transAxes) ax.text(0.26, y0, "x", fontsize=36, ha="center", va="center", color="#15803D", transform=ax.transAxes) ax.text(0.33, y0, "+", fontsize=30, ha="center", va="center", color="#374151", transform=ax.transAxes) ax.text(0.40, y0, "3", fontsize=36, ha="center", va="center", color="#2563EB", transform=ax.transAxes) ax.text(0.52, y0, "=", fontsize=30, ha="center", va="center", color="#DC2626", transform=ax.transAxes) ax.text(0.62, y0, "7", fontsize=36, ha="center", va="center", color="#374151", transform=ax.transAxes) ax.annotate("katsayı", xy=(0.20, 0.40), xytext=(0.15, 0.13), xycoords="axes fraction", fontsize=11, color="#D97706", ha="center", arrowprops=dict(arrowstyle="-|>", color="#D97706", lw=1.6)) ax.annotate("değişken", xy=(0.26, 0.40), xytext=(0.31, 0.13), xycoords="axes fraction", fontsize=11, color="#15803D", ha="center", arrowprops=dict(arrowstyle="-|>", color="#15803D", lw=1.6)) ax.annotate("sabit", xy=(0.40, 0.40), xytext=(0.45, 0.13), xycoords="axes fraction", fontsize=11, color="#2563EB", ha="center", arrowprops=dict(arrowstyle="-|>", color="#2563EB", lw=1.6)) ax.plot([0.16, 0.16, 0.44, 0.44], [0.62, 0.66, 0.66, 0.62], color="#6b7280", lw=1.2, transform=ax.transAxes) ax.text(0.30, 0.73, "ifade", fontsize=12, color="#6b7280", ha="center", transform=ax.transAxes) ax.annotate("eşittir → bunu denklem yapar", xy=(0.52, 0.60), xytext=(0.58, 0.85), xycoords="axes fraction", fontsize=11, color="#DC2626", ha="center", arrowprops=dict(arrowstyle="-|>", color="#DC2626", lw=1.6)) ax.set_xlim(0, 1); ax.set_ylim(0, 1) ax.axis("off") plt.tight_layout() plt.show() ``` Yukarıdaki $2x + 3 = 7$ denkleminde: $2$ değişkenin **katsayısı**, $x$ **değişken**, $3$ **sabit** terimdir. $2x$ ve $3$ ise birer **terimdir**. ## İfade mi, denklem mi? Tek bir soru ayırır: - **Eşittir işareti yok** → ifade. Onu hesaplar veya sadeleştirirsin. - **Eşittir işareti var** → denklem. Onu çözer (bilinmeyeni bulur)sun. Örneğin $3x - 1$ bir ifadedir; $3x - 1 = 8$ bir denklemdir. ::: {.callout-important title="Tek ayrım"} Eşittir işareti yoksa **ifade**dir (hesaplanır/sadeleştirilir); eşittir işareti varsa **denklem**dir (çözülür). Bu tek ayrım, başlangıçtaki kafa karışıklığının çoğunu önler. ::: ::: {.callout-warning title="İki tuzak"} - İfadeyi "çözemezsin" — çözülecek bir eşitlik yok; ifadeyi yalnızca hesaplarsın. - $2x$, $2 \cdot x$ demektir; bitişik yazım çarpımı gizler (çarpı işareti yazılmaz). ::: ## Örnek **Örnek 1.** "Bir sayının 5 fazlası" → $x + 5$ (ifade). **Örnek 2.** $2x + 1$ ifadesini $x = 4$ için hesapla: $2(4) + 1 = 9$. **Örnek 3.** "Bir sayının 2 katı 10'a eşittir" → $2x = 10$ (denklem). ::: {.callout-tip title="ML köprüsü"} Makine öğrenmesinde çözmeye çalıştığımız bilinmeyenler, modelin **parametreleridir** (ağırlıklar). Bir modelin formülü — örneğin $wx + b$ — bir **ifadedir**; eğitim, bu ifadeyi veriye uydurmak için en iyi $w$ ve $b$ değerlerini arayan bir problem kurar. Yani "değişkeni izole edip bulma" fikri, doğrudan "parametreyi öğrenme" fikrine dönüşür. ::: ## Alıştırmalar 1. "Bir sayının 5 fazlası" ifadesini $x$ ile yaz. 2. $3x - 2$ bir ifade mi, denklem mi? 3. $3x - 2 = 7$ bir ifade mi, denklem mi? 4. $2x + 1$ ifadesini $x = 4$ için hesapla. 5. $5x + 3$ ifadesinde katsayı ve sabit nedir? 6. "Bir sayının 2 katı 10'a eşittir" cümlesini denklem olarak yaz. ::: {.callout-note collapse="true" title="Çözümler (önce kendin dene, sonra aç)"} 1. $x + 5$ 2. İfade (eşittir işareti yok → hesaplanır, çözülmez) 3. Denklem (eşittir işareti var → $x$ çözülür) 4. $2(4) + 1 = 9$ 5. Katsayı $5$, sabit $3$ 6. $2x = 10$ ::: --- *Sonraki ders: Denklem Mantığı (doğrusal denklemler).*