22 Vektör Kavramı

Sayı listesi, nokta ve ok — ML’in doğal nesnesi

Son bölümdeyiz. Vektör, sıralı bir sayı listesidir — ama makine öğrenmesinin doğal nesnesidir: bir veri örneği, bir embedding, bir nöronun ağırlıkları, hepsi birer vektördür. ML aslında yüksek boyutlu vektör uzayında yapılan geometridir.

22.1 Vektör nedir?

Bir vektör, belirli sırada yazılmış sayılardan oluşur:

\[\vec{v} = (v_1, v_2, \dots, v_n)\]

Aynı vektörü iki şekilde düşünebilirsin:

Nokta: uzaydaki bir konum (koordinatlar).
Ok: orijinden o noktaya giden, bir yönü ve uzunluğu olan ok.

Şekil 22.1: $\vec{v} = (3, 2)$ vektörü: orijinden $(3, 2)$ noktasına giden bir ok. Bileşenleri $v_1 = 3$ (yatay), $v_2 = 2$ (dikey).

İki bakış da aynı sayılardır: $(3, 2)$ hem $(3,2)$ noktası, hem de oraya giden oktur.

22.2 Boyut

Bir vektörün boyutu, bileşen sayısıdır. $(3, 2)$ iki boyutlu, $(1, 0, -2)$ üç boyutludur. ML’de boyut çok yüksektir: bir embedding yüzlerce, hatta binlerce bileşenli bir vektördür. 2B ve 3B çizebiliriz ama matematik her boyutta aynı çalışır.

22.3 Gösterim ve eşitlik

Vektör genelde üstünde ok ($\vec{v}$) ya da kalın harfle yazılır; bileşenleri $v_1, v_2, \dots$ ile gösterilir. İki vektör, ancak tüm karşılıklı bileşenleri eşitse eşittir — ve bunun için boyutları da aynı olmalıdır.

Aynı sayılar, iki resim

Bir vektör aynı anda hem bir noktadır (koordinatlar) hem de bir oktur (orijinden çıkan, yönü ve uzunluğu olan). Hangi resmin işine yaradığını probleme göre seçersin; sayılar değişmez.

İki tuzak

Sıra önemlidir: $(3, 2) \neq (2, 3)$. Vektörün bileşenleri sıralıdır.
İşlem yapmak veya karşılaştırmak için boyutlar eşleşmeli; 2B bir vektörle 3B bir vektör toplanamaz.

22.4 Örnek

Örnek 1. $\vec{v} = (3, 2)$: 2 boyutlu, bileşenleri $v_1 = 3$, $v_2 = 2$.

Örnek 2. Bir ev — alan $120\,\text{m}^2$, 3 oda, 10 yaş — şu vektörle gösterilebilir: $(120, 3, 10)$, yani 3 boyutlu bir veri noktası.

ML köprüsü

Vektör, ML’in temel veri tipidir:

Veri örneği: birden çok özelliğe sahip tek bir örnek bir vektördür — ev örneğindeki $(120, 3, 10)$ gibi.
Embedding: bir kelimenin, görüntünün veya belgenin anlamını kodlayan yüksek boyutlu bir vektördür. Bir RAG sistemi, belgeleri embedding vektörlerine çevirip bunları saklar ve arar — yani vektör uzayında benzerlik araması yapar.
Ağırlıklar: bir nöronun ağırlıkları $\vec{w}$ de bir vektördür (Toplam Sembolü dersindeki $\sum w_i x_i$ aslında iki vektörün işlemidir — sıradaki derslerde göreceğiz).

ML, bu vektörler üzerinde yapılan geometridir.

22.5 Alıştırmalar

$\vec{v} = (4, -1)$ kaç boyutludur?
$\vec{u} = (2, 5, 1, 3)$ kaç boyutludur?
$(3, 2)$ ile $(2, 3)$ aynı vektör müdür?
$\vec{v} = (3, 2)$ vektörünün birinci bileşeni $v_1$ nedir?
Bir ev (alan 150, oda 4, yaş 8) hangi vektörle gösterilir ve kaç boyutludur?
$\vec{a} = (1, 2)$ ile $\vec{b} = (1, 2)$ eşit midir?

Çözümler (önce kendin dene, sonra aç)

2 boyutlu (iki bileşen).
4 boyutlu (dört bileşen).
Hayır; bileşenlerin sırası farklı, $(3,2) \neq (2,3)$.
$v_1 = 3$.
$(150, 4, 8)$, 3 boyutlu.
Evet; karşılıklı tüm bileşenler eşit.

Sonraki ders: Vektör İşlemleri.

--- title: "Vektör Kavramı" subtitle: "Sayı listesi, nokta ve ok — ML'in doğal nesnesi" --- Son bölümdeyiz. **Vektör**, sıralı bir sayı listesidir — ama makine öğrenmesinin doğal nesnesidir: bir veri örneği, bir embedding, bir nöronun ağırlıkları, hepsi birer vektördür. ML aslında yüksek boyutlu vektör uzayında yapılan geometridir. ## Vektör nedir? Bir vektör, belirli sırada yazılmış sayılardan oluşur: $$\vec{v} = (v_1, v_2, \dots, v_n)$$ Aynı vektörü iki şekilde düşünebilirsin: - **Nokta:** uzaydaki bir konum (koordinatlar). - **Ok:** orijinden o noktaya giden, bir yönü ve uzunluğu olan ok. ```{python} #| label: fig-vektor #| fig-cap: "$\\vec{v} = (3, 2)$ vektörü: orijinden $(3, 2)$ noktasına giden bir ok. Bileşenleri $v_1 = 3$ (yatay), $v_2 = 2$ (dikey)." #| echo: false import matplotlib.pyplot as plt fig, ax = plt.subplots(figsize=(5.5, 5)) ax.annotate("", xy=(3, 2), xytext=(0, 0), arrowprops=dict(arrowstyle="-|>", color="#15803D", lw=2.5)) ax.text(2.1, 2.2, r"$\vec{v}=(3,2)$", fontsize=13, color="#15803D") ax.plot([3, 3], [0, 2], "--", color="#D97706", linewidth=1.2) ax.plot([0, 3], [2, 2], "--", color="#9ca3af", linewidth=1) ax.text(1.5, -0.4, "$v_1 = 3$", ha="center", fontsize=11, color="#D97706") ax.text(3.15, 1.0, "$v_2 = 2$", va="center", fontsize=11, color="#D97706") ax.plot(0, 0, "o", color="#374151", markersize=5) ax.axhline(0, color="#9ca3af", linewidth=0.8) ax.axvline(0, color="#9ca3af", linewidth=0.8) ax.set_xlim(-1, 4.5) ax.set_ylim(-1, 3.5) ax.set_aspect("equal") ax.grid(True, alpha=0.2) ax.set_xlabel("$x$"); ax.set_ylabel("$y$") plt.tight_layout() plt.show() ``` İki bakış da aynı sayılardır: $(3, 2)$ hem $(3,2)$ noktası, hem de oraya giden oktur. ## Boyut Bir vektörün **boyutu**, bileşen sayısıdır. $(3, 2)$ iki boyutlu, $(1, 0, -2)$ üç boyutludur. ML'de boyut çok yüksektir: bir embedding yüzlerce, hatta binlerce bileşenli bir vektördür. 2B ve 3B çizebiliriz ama matematik her boyutta aynı çalışır. ## Gösterim ve eşitlik Vektör genelde üstünde ok ($\vec{v}$) ya da kalın harfle yazılır; bileşenleri $v_1, v_2, \dots$ ile gösterilir. İki vektör, ancak **tüm karşılıklı bileşenleri eşitse** eşittir — ve bunun için boyutları da aynı olmalıdır. ::: {.callout-important title="Aynı sayılar, iki resim"} Bir vektör aynı anda hem bir **noktadır** (koordinatlar) hem de bir **oktur** (orijinden çıkan, yönü ve uzunluğu olan). Hangi resmin işine yaradığını probleme göre seçersin; sayılar değişmez. ::: ::: {.callout-warning title="İki tuzak"} - Sıra önemlidir: $(3, 2) \neq (2, 3)$. Vektörün bileşenleri sıralıdır. - İşlem yapmak veya karşılaştırmak için boyutlar eşleşmeli; 2B bir vektörle 3B bir vektör toplanamaz. ::: ## Örnek **Örnek 1.** $\vec{v} = (3, 2)$: 2 boyutlu, bileşenleri $v_1 = 3$, $v_2 = 2$. **Örnek 2.** Bir ev — alan $120\,\text{m}^2$, 3 oda, 10 yaş — şu vektörle gösterilebilir: $(120, 3, 10)$, yani 3 boyutlu bir veri noktası. ::: {.callout-tip title="ML köprüsü"} Vektör, ML'in temel veri tipidir: - **Veri örneği:** birden çok özelliğe sahip tek bir örnek bir vektördür — ev örneğindeki $(120, 3, 10)$ gibi. - **Embedding:** bir kelimenin, görüntünün veya belgenin anlamını kodlayan yüksek boyutlu bir vektördür. Bir RAG sistemi, belgeleri embedding vektörlerine çevirip bunları saklar ve arar — yani vektör uzayında benzerlik araması yapar. - **Ağırlıklar:** bir nöronun ağırlıkları $\vec{w}$ de bir vektördür (Toplam Sembolü dersindeki $\sum w_i x_i$ aslında iki vektörün işlemidir — sıradaki derslerde göreceğiz). ML, bu vektörler üzerinde yapılan geometridir. ::: ## Alıştırmalar 1. $\vec{v} = (4, -1)$ kaç boyutludur? 2. $\vec{u} = (2, 5, 1, 3)$ kaç boyutludur? 3. $(3, 2)$ ile $(2, 3)$ aynı vektör müdür? 4. $\vec{v} = (3, 2)$ vektörünün birinci bileşeni $v_1$ nedir? 5. Bir ev (alan 150, oda 4, yaş 8) hangi vektörle gösterilir ve kaç boyutludur? 6. $\vec{a} = (1, 2)$ ile $\vec{b} = (1, 2)$ eşit midir? ::: {.callout-note collapse="true" title="Çözümler (önce kendin dene, sonra aç)"} 1. 2 boyutlu (iki bileşen). 2. 4 boyutlu (dört bileşen). 3. Hayır; bileşenlerin sırası farklı, $(3,2) \neq (2,3)$. 4. $v_1 = 3$. 5. $(150, 4, 8)$, 3 boyutlu. 6. Evet; karşılıklı tüm bileşenler eşit. ::: --- *Sonraki ders: Vektör İşlemleri.*