18 Toplam Sembolü (Σ)

Çok terimi tek sembolde toplamak — ML’in en sık işlemi

Toplam sembolü $\Sigma$ (büyük sigma), “şu terimleri topla” demenin kısa yoludur. ML’de en çok karşına çıkan semboldür: ortalama, kayıp fonksiyonu ve iç çarpım — hepsi birer toplamdır. Sembol ilk bakışta korkutucu görünür; aslında bir döngünün matematik yazımıdır.

18.1 Σ ne demek?

\[\sum_{i=1}^{n} a_i = a_1 + a_2 + a_3 + \dots + a_n\]

Sembolün dört parçası vardır:

Şekil 18.1: Toplam sembolünün anatomisi: alt sınır (başlangıç), üst sınır (bitiş), toplanan terim ve toplam sembolünün kendisi. İndis $i$ alttan üste sırayla değer alır.

Toplam değişkeni (indis): $i$ — alt sınırdan üst sınıra doğru tek tek değer alır.
Alt sınır: $i = 1$ — saymanın başladığı yer.
Üst sınır: $n$ — saymanın bittiği yer.
Toplanan terim: $a_i$ — her adımda hesaplanıp toplama eklenen ifade.

18.2 Nasıl açılır?

İndise sırayla değer ver, sonuçları topla:

\[\sum_{i=1}^{4} i = 1 + 2 + 3 + 4 = 10\] \[\sum_{i=1}^{3} i^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 = 1 + 4 + 9 = 14\] \[\sum_{i=1}^{3} 5 = 5 + 5 + 5 = 15 \quad (\text{sabit terim: } n \text{ kopya})\]

18.3 Σ kuralları

Bu üç kural ML’de toplamları sadeleştirmenin temelidir:

\[\sum_{i=1}^{n} c \cdot a_i = c \sum_{i=1}^{n} a_i \qquad \sum_{i=1}^{n} (a_i + b_i) = \sum_{i=1}^{n} a_i + \sum_{i=1}^{n} b_i \qquad \sum_{i=1}^{n} c = n c\]

Yani sabit çarpan dışarı alınır, toplam üzerinden açılır, sabitin toplamı $n$ kopyadır.

18.4 Ortalama bir Σ’dır

Bir veri kümesinin ortalaması, aslında ölçeklenmiş bir toplamdır:

\[\bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i\]

Korkutucu değil

$\sum_{i=1}^{n} a_i$ sadece şu demektir: “$i$’yi $1$’den $n$’e kadar yürüt, her adımda $a_i$’yi hesapla, hepsini topla.” Bu, kodda bir for döngüsünün matematikteki yazımıdır — başka bir şey değil.

İki tuzak

Sınırlar dahildir: $i = 1$’den $n$’e demek, iki uç da dahil $n$ terim demektir.
Sabit terimin toplamı $n$ kopyadır: $\sum_{i=1}^{n} c = nc$, $c$ değil. İndis adı önemsizdir; $i$, $j$, $k$ aynı kapıya çıkar.

18.5 Örnek

Örnek 1. $\displaystyle\sum_{i=1}^{3} 2i$ — kuralla: $2\sum_{i=1}^{3} i = 2(1+2+3) = 2 \cdot 6 = 12$.

Örnek 2. $\displaystyle\sum_{k=1}^{4} (k + 1) = (1{+}1) + (2{+}1) + (3{+}1) + (4{+}1) = 2 + 3 + 4 + 5 = 14$.

ML köprüsü

Σ, makine öğrenmesinin en sık işlemidir:

Ortalama: $\bar{x} = \dfrac{1}{n}\sum x_i$.
MSE kaybı: $\text{MSE} = \dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(y_i - \hat{y}_i)^2$ — hataların karelerinin ortalaması (Parabol dersinden tanıdık parabol burada toplanıyor).
İç çarpım / ağırlıklı toplam: $y = \sum_{i=1}^{n} w_i x_i + b$ — tek bir nöronun hesabı. Bu, Doğrusal Fonksiyon ve Eğim dersindeki $wx + b$’nin çok özelliğe genelleşmiş hâlidir: her özellik $x_i$ kendi ağırlığı $w_i$ ile çarpılıp toplanır.

Kodda bu satırların hepsi bir for döngüsü veya bir np.sum çağrısıdır.

18.6 Alıştırmalar

$\displaystyle\sum_{i=1}^{5} i = ?$
$\displaystyle\sum_{i=1}^{3} i^2 = ?$
$\displaystyle\sum_{i=1}^{4} 3 = ?$
$\displaystyle\sum_{i=1}^{3} 2i = ?$
$\displaystyle\sum_{k=1}^{4} (k + 1) = ?$
$x = (2, 4, 6)$ için ortalama $\bar{x} = \dfrac{1}{3}\displaystyle\sum_{i=1}^{3} x_i = ?$

Çözümler (önce kendin dene, sonra aç)

$1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15$
$1 + 4 + 9 = 14$
$3 \cdot 4 = 12$ (dört kopya)
$2(1) + 2(2) + 2(3) = 2 + 4 + 6 = 12$
$2 + 3 + 4 + 5 = 14$
$\dfrac{2 + 4 + 6}{3} = \dfrac{12}{3} = 4$

Sonraki ders: Pi Çarpım Notasyonu.

--- title: "Toplam Sembolü (Σ)" subtitle: "Çok terimi tek sembolde toplamak — ML'in en sık işlemi" --- Toplam sembolü $\Sigma$ (büyük sigma), "şu terimleri topla" demenin kısa yoludur. ML'de en çok karşına çıkan semboldür: ortalama, kayıp fonksiyonu ve iç çarpım — hepsi birer toplamdır. Sembol ilk bakışta korkutucu görünür; aslında bir döngünün matematik yazımıdır. ## Σ ne demek? $$\sum_{i=1}^{n} a_i = a_1 + a_2 + a_3 + \dots + a_n$$ Sembolün dört parçası vardır: ```{python} #| label: fig-sigma-anatomi #| fig-cap: "Toplam sembolünün anatomisi: alt sınır (başlangıç), üst sınır (bitiş), toplanan terim ve toplam sembolünün kendisi. İndis $i$ alttan üste sırayla değer alır." #| echo: false import matplotlib.pyplot as plt fig, ax = plt.subplots(figsize=(7, 4.2)) ax.text(0.35, 0.85, "$n$", fontsize=22, ha="center", va="center", color="#DC2626", transform=ax.transAxes) ax.text(0.35, 0.50, r"$\sum$", fontsize=82, ha="center", va="center", transform=ax.transAxes) ax.text(0.35, 0.17, "$i=1$", fontsize=20, ha="center", va="center", color="#2563EB", transform=ax.transAxes) ax.text(0.53, 0.50, "$a_i$", fontsize=36, ha="center", va="center", color="#D97706", transform=ax.transAxes) ax.annotate("üst sınır (bitiş)", xy=(0.40, 0.85), xytext=(0.60, 0.92), xycoords="axes fraction", fontsize=12, color="#DC2626", va="center", arrowprops=dict(arrowstyle="-|>", color="#DC2626", lw=1.8)) ax.annotate("alt sınır (başlangıç)", xy=(0.42, 0.17), xytext=(0.56, 0.07), xycoords="axes fraction", fontsize=12, color="#2563EB", va="center", arrowprops=dict(arrowstyle="-|>", color="#2563EB", lw=1.8)) ax.annotate("toplanan terim", xy=(0.55, 0.43), xytext=(0.72, 0.30), xycoords="axes fraction", fontsize=12, color="#D97706", va="center", arrowprops=dict(arrowstyle="-|>", color="#D97706", lw=1.8)) ax.annotate("toplam sembolü", xy=(0.30, 0.50), xytext=(0.04, 0.62), xycoords="axes fraction", fontsize=12, color="#374151", va="center", arrowprops=dict(arrowstyle="-|>", color="#374151", lw=1.8)) ax.set_xlim(0, 1); ax.set_ylim(0, 1) ax.axis("off") plt.tight_layout() plt.show() ``` - **Toplam değişkeni (indis):** $i$ — alt sınırdan üst sınıra doğru tek tek değer alır. - **Alt sınır:** $i = 1$ — saymanın başladığı yer. - **Üst sınır:** $n$ — saymanın bittiği yer. - **Toplanan terim:** $a_i$ — her adımda hesaplanıp toplama eklenen ifade. ## Nasıl açılır? İndise sırayla değer ver, sonuçları topla: $$\sum_{i=1}^{4} i = 1 + 2 + 3 + 4 = 10$$ $$\sum_{i=1}^{3} i^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 = 1 + 4 + 9 = 14$$ $$\sum_{i=1}^{3} 5 = 5 + 5 + 5 = 15 \quad (\text{sabit terim: } n \text{ kopya})$$ ## Σ kuralları Bu üç kural ML'de toplamları sadeleştirmenin temelidir: $$\sum_{i=1}^{n} c \cdot a_i = c \sum_{i=1}^{n} a_i \qquad \sum_{i=1}^{n} (a_i + b_i) = \sum_{i=1}^{n} a_i + \sum_{i=1}^{n} b_i \qquad \sum_{i=1}^{n} c = n c$$ Yani sabit çarpan dışarı alınır, toplam üzerinden açılır, sabitin toplamı $n$ kopyadır. ## Ortalama bir Σ'dır Bir veri kümesinin ortalaması, aslında ölçeklenmiş bir toplamdır: $$\bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i$$ ::: {.callout-important title="Korkutucu değil"} $\sum_{i=1}^{n} a_i$ sadece şu demektir: "$i$'yi $1$'den $n$'e kadar yürüt, her adımda $a_i$'yi hesapla, hepsini topla." Bu, kodda bir `for` döngüsünün matematikteki yazımıdır — başka bir şey değil. ::: ::: {.callout-warning title="İki tuzak"} - Sınırlar dahildir: $i = 1$'den $n$'e demek, iki uç da dahil **$n$ terim** demektir. - Sabit terimin toplamı $n$ kopyadır: $\sum_{i=1}^{n} c = nc$, $c$ değil. İndis adı önemsizdir; $i$, $j$, $k$ aynı kapıya çıkar. ::: ## Örnek **Örnek 1.** $\displaystyle\sum_{i=1}^{3} 2i$ — kuralla: $2\sum_{i=1}^{3} i = 2(1+2+3) = 2 \cdot 6 = 12$. **Örnek 2.** $\displaystyle\sum_{k=1}^{4} (k + 1) = (1{+}1) + (2{+}1) + (3{+}1) + (4{+}1) = 2 + 3 + 4 + 5 = 14$. ::: {.callout-tip title="ML köprüsü"} Σ, makine öğrenmesinin en sık işlemidir: - **Ortalama:** $\bar{x} = \dfrac{1}{n}\sum x_i$. - **MSE kaybı:** $\text{MSE} = \dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(y_i - \hat{y}_i)^2$ — hataların karelerinin ortalaması (Parabol dersinden tanıdık parabol burada toplanıyor). - **İç çarpım / ağırlıklı toplam:** $y = \sum_{i=1}^{n} w_i x_i + b$ — tek bir nöronun hesabı. Bu, Doğrusal Fonksiyon ve Eğim dersindeki $wx + b$'nin çok özelliğe genelleşmiş hâlidir: her özellik $x_i$ kendi ağırlığı $w_i$ ile çarpılıp toplanır. Kodda bu satırların hepsi bir `for` döngüsü veya bir `np.sum` çağrısıdır. ::: ## Alıştırmalar 1. $\displaystyle\sum_{i=1}^{5} i = ?$ 2. $\displaystyle\sum_{i=1}^{3} i^2 = ?$ 3. $\displaystyle\sum_{i=1}^{4} 3 = ?$ 4. $\displaystyle\sum_{i=1}^{3} 2i = ?$ 5. $\displaystyle\sum_{k=1}^{4} (k + 1) = ?$ 6. $x = (2, 4, 6)$ için ortalama $\bar{x} = \dfrac{1}{3}\displaystyle\sum_{i=1}^{3} x_i = ?$ ::: {.callout-note collapse="true" title="Çözümler (önce kendin dene, sonra aç)"} 1. $1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15$ 2. $1 + 4 + 9 = 14$ 3. $3 \cdot 4 = 12$ (dört kopya) 4. $2(1) + 2(2) + 2(3) = 2 + 4 + 6 = 12$ 5. $2 + 3 + 4 + 5 = 14$ 6. $\dfrac{2 + 4 + 6}{3} = \dfrac{12}{3} = 4$ ::: --- *Sonraki ders: Pi Çarpım Notasyonu.*