23 Vektör İşlemleri

Toplama ve skaler çarpım — eğitim güncellemesinin ta kendisi

Vektörlerle iki temel işlem yaparız: toplama ve skaler çarpım. Tüm lineer cebir bunların üstüne kurulur — ve bir modeli eğitirken yapılan ağırlık güncellemesi tam olarak bu iki işlemden ibarettir.

23.1 Vektör toplama

İki vektörü toplamak için karşılıklı bileşenleri toplarsın:

\[\vec{u} + \vec{v} = (u_1 + v_1,\; u_2 + v_2,\; \dots)\]

Geometrik anlamı uç-uca eklemedir: $\vec{v}$’yi $\vec{u}$’nun ucuna koyarsın; toplam, $\vec{u}$’nun başından $\vec{v}$’nin ucuna giden oktur.

Şekil 23.1: Vektör toplama (uç-uca): $\vec{v}$’yi $\vec{u}$’nun ucuna koy; toplam $\vec{u}+\vec{v}=(4,5)$, orijinden son uca giden kırmızı oktur.

23.2 Skaler çarpım

Bir vektörü bir sayıyla (skalerle) çarpmak, her bileşeni o sayıyla çarpmaktır:

\[c\,\vec{v} = (c v_1,\; c v_2,\; \dots)\]

Geometrik anlamı, okun uzunluğunu ölçeklemektir: $c = 2$ iki katı uzun, $c = \tfrac{1}{2}$ yarısı; $c < 0$ ise oku ters yöne çevirir. Örneğin $2(3,2) = (6,4)$, $\;-1(3,2) = (-3,-2)$.

23.3 Vektör çıkarma

Çıkarma da bileşen bileşendir; aslında $-1$ ile skaler çarpıp toplamaktır:

\[\vec{u} - \vec{v} = \vec{u} + (-1)\vec{v} = (u_1 - v_1,\; u_2 - v_2,\; \dots)\]

Örnek: $(5, 4) - (2, 1) = (3, 3)$.

Her şey bileşen bileşen

Hem toplama hem skaler çarpım bileşen bazında çalışır. Geometride: toplama = okları uç-uca ekleme, skaler çarpım = oku uzatma/kısaltma (ve negatifse ters çevirme).

İki tuzak

Yalnızca aynı boyutlu vektörler toplanır/çıkarılır.
Skaler çarpım her bileşene uygulanır, sadece birine değil. Negatif skaler oku kısaltmaz, yönünü ters çevirir ($c = -1$ tam ters yön).

23.4 Örnek

Örnek 1 (toplama). $(2, 3) + (4, 1) = (6, 4)$.

Örnek 2 (skaler). $3(1, 2) = (3, 6)$.

Örnek 3 (çıkarma). $(5, 7) - (2, 3) = (3, 4)$.

ML köprüsü

Bir modeli eğitmenin kalbindeki gradyan inişi güncellemesi tam olarak bu iki işlemdir:

\[\vec{w} \leftarrow \vec{w} - \eta \,\nabla L\]

Burada $\nabla L$ gradyan vektörü, $\eta$ (öğrenme oranı) bir skalerdir. Yani: gradyanı bir skalerle çarp (skaler çarpım), sonucu ağırlık vektöründen çıkar (vektör çıkarma). Her eğitim adımı, ağırlık vektörünü gradyanın ters yönünde küçük bir adım kaydırmaktan ibarettir — bu derste öğrendiğin iki işlem.

Embeddingleri birleştirmek veya ortalamak da yine vektör toplama ve skaler çarpımdır.

23.5 Alıştırmalar

$(2, 3) + (4, 1) = ?$
$3(1, 2) = ?$
$(5, 7) - (2, 3) = ?$
$-2(1, -3) = ?$
$(1, 2, 3) + (4, 5, 6) = ?$
$\dfrac{1}{2}(6, 4) = ?$

Çözümler (önce kendin dene, sonra aç)

$(2+4,\; 3+1) = (6, 4)$
$(3 \cdot 1,\; 3 \cdot 2) = (3, 6)$
$(5-2,\; 7-3) = (3, 4)$
$(-2 \cdot 1,\; -2 \cdot (-3)) = (-2, 6)$
$(1+4,\; 2+5,\; 3+6) = (5, 7, 9)$
$\left(\tfrac{1}{2} \cdot 6,\; \tfrac{1}{2} \cdot 4\right) = (3, 2)$

Sonraki ders: İç Çarpım.

--- title: "Vektör İşlemleri" subtitle: "Toplama ve skaler çarpım — eğitim güncellemesinin ta kendisi" --- Vektörlerle iki temel işlem yaparız: **toplama** ve **skaler çarpım**. Tüm lineer cebir bunların üstüne kurulur — ve bir modeli eğitirken yapılan ağırlık güncellemesi tam olarak bu iki işlemden ibarettir. ## Vektör toplama İki vektörü toplamak için **karşılıklı bileşenleri** toplarsın: $$\vec{u} + \vec{v} = (u_1 + v_1,\; u_2 + v_2,\; \dots)$$ Geometrik anlamı **uç-uca eklemedir**: $\vec{v}$'yi $\vec{u}$'nun ucuna koyarsın; toplam, $\vec{u}$'nun başından $\vec{v}$'nin ucuna giden oktur. ```{python} #| label: fig-vektor-toplama #| fig-cap: "Vektör toplama (uç-uca): $\\vec{v}$'yi $\\vec{u}$'nun ucuna koy; toplam $\\vec{u}+\\vec{v}=(4,5)$, orijinden son uca giden kırmızı oktur." #| echo: false import matplotlib.pyplot as plt fig, ax = plt.subplots(figsize=(5.5, 5.5)) ax.annotate("", xy=(3, 2), xytext=(0, 0), arrowprops=dict(arrowstyle="-|>", color="#15803D", lw=2.5)) ax.text(1.2, 0.6, r"$\vec{u}=(3,2)$", fontsize=12, color="#15803D") ax.annotate("", xy=(4, 5), xytext=(3, 2), arrowprops=dict(arrowstyle="-|>", color="#D97706", lw=2.5)) ax.text(3.55, 3.4, r"$\vec{v}=(1,3)$", fontsize=12, color="#D97706") ax.annotate("", xy=(4, 5), xytext=(0, 0), arrowprops=dict(arrowstyle="-|>", color="#DC2626", lw=2.5)) ax.text(0.25, 3.4, r"$\vec{u}+\vec{v}=(4,5)$", fontsize=12, color="#DC2626") ax.plot(0, 0, "o", color="#374151", markersize=5) ax.axhline(0, color="#9ca3af", linewidth=0.8) ax.axvline(0, color="#9ca3af", linewidth=0.8) ax.set_xlim(-0.5, 5) ax.set_ylim(-0.5, 5.8) ax.set_aspect("equal") ax.grid(True, alpha=0.2) ax.set_xlabel("$x$"); ax.set_ylabel("$y$") plt.tight_layout() plt.show() ``` ## Skaler çarpım Bir vektörü bir sayıyla (skalerle) çarpmak, **her bileşeni** o sayıyla çarpmaktır: $$c\,\vec{v} = (c v_1,\; c v_2,\; \dots)$$ Geometrik anlamı, okun **uzunluğunu ölçeklemektir**: $c = 2$ iki katı uzun, $c = \tfrac{1}{2}$ yarısı; $c < 0$ ise oku **ters yöne** çevirir. Örneğin $2(3,2) = (6,4)$, $\;-1(3,2) = (-3,-2)$. ## Vektör çıkarma Çıkarma da bileşen bileşendir; aslında $-1$ ile skaler çarpıp toplamaktır: $$\vec{u} - \vec{v} = \vec{u} + (-1)\vec{v} = (u_1 - v_1,\; u_2 - v_2,\; \dots)$$ Örnek: $(5, 4) - (2, 1) = (3, 3)$. ::: {.callout-important title="Her şey bileşen bileşen"} Hem toplama hem skaler çarpım **bileşen bazında** çalışır. Geometride: toplama = okları uç-uca ekleme, skaler çarpım = oku uzatma/kısaltma (ve negatifse ters çevirme). ::: ::: {.callout-warning title="İki tuzak"} - Yalnızca **aynı boyutlu** vektörler toplanır/çıkarılır. - Skaler çarpım **her** bileşene uygulanır, sadece birine değil. Negatif skaler oku kısaltmaz, **yönünü ters çevirir** ($c = -1$ tam ters yön). ::: ## Örnek **Örnek 1 (toplama).** $(2, 3) + (4, 1) = (6, 4)$. **Örnek 2 (skaler).** $3(1, 2) = (3, 6)$. **Örnek 3 (çıkarma).** $(5, 7) - (2, 3) = (3, 4)$. ::: {.callout-tip title="ML köprüsü"} Bir modeli eğitmenin kalbindeki **gradyan inişi güncellemesi** tam olarak bu iki işlemdir: $$\vec{w} \leftarrow \vec{w} - \eta \,\nabla L$$ Burada $\nabla L$ gradyan vektörü, $\eta$ (öğrenme oranı) bir skalerdir. Yani: gradyanı bir skalerle çarp (skaler çarpım), sonucu ağırlık vektöründen çıkar (vektör çıkarma). Her eğitim adımı, ağırlık vektörünü gradyanın ters yönünde küçük bir adım kaydırmaktan ibarettir — bu derste öğrendiğin iki işlem. Embeddingleri birleştirmek veya ortalamak da yine vektör toplama ve skaler çarpımdır. ::: ## Alıştırmalar 1. $(2, 3) + (4, 1) = ?$ 2. $3(1, 2) = ?$ 3. $(5, 7) - (2, 3) = ?$ 4. $-2(1, -3) = ?$ 5. $(1, 2, 3) + (4, 5, 6) = ?$ 6. $\dfrac{1}{2}(6, 4) = ?$ ::: {.callout-note collapse="true" title="Çözümler (önce kendin dene, sonra aç)"} 1. $(2+4,\; 3+1) = (6, 4)$ 2. $(3 \cdot 1,\; 3 \cdot 2) = (3, 6)$ 3. $(5-2,\; 7-3) = (3, 4)$ 4. $(-2 \cdot 1,\; -2 \cdot (-3)) = (-2, 6)$ 5. $(1+4,\; 2+5,\; 3+6) = (5, 7, 9)$ 6. $\left(\tfrac{1}{2} \cdot 6,\; \tfrac{1}{2} \cdot 4\right) = (3, 2)$ ::: --- *Sonraki ders: İç Çarpım.*