13 Parabol

İkinci derece fonksiyonun U biçimi — ML’deki kayıp çukuru

İkinci derece bir fonksiyonun grafiği bir paraboldür — U biçimli bir eğri. Bölüm 1’de ikinci derece denklemleri çözmüştük; şimdi o denklemin grafiğine bakıyoruz. Bu şekil ML’de doğrudan karşına çıkar: kayıp fonksiyonu (loss) çoğu zaman tam böyle bir çukurdur ve eğitim, o çukurun dibini aramaktır.

13.1 Parabol: $y = ax^2 + bx + c$

\[f(x) = ax^2 + bx + c \quad (a \neq 0)\]

Şekil 13.1: $y = x^2 - 4x + 3$ paraboli: kollar yukarı ($a>0$), tepe noktası $(2,-1)$, kökler $x=1$ ve $x=3$, simetri ekseni $x=2$.

13.2 $a$ kolların yönünü ve genişliğini belirler

$a > 0$ → kollar yukarı açılır, parabolün bir minimumu vardır (çukur).
$a < 0$ → kollar aşağı açılır, bir maksimumu vardır (tepe).
$|a|$ büyüdükçe parabol darlaşır; küçüldükçe yayvanlaşır.

13.3 Tepe noktası

Tepe noktası, parabolün döndüğü yerdir — minimum ya da maksimum. $x$ koordinatı:

\[x_{\text{tepe}} = -\frac{b}{2a}\]

Bu $x$’i fonksiyona koyunca tepe noktasının $y$ değeri çıkar. $a > 0$ ise tepe en alçak nokta (minimum), $a < 0$ ise en yüksek nokta (maksimum).

13.4 Kökler ve diskriminant

Parabolün $x$ eksenini kestiği yerler köklerdir ($y = 0$). Bunlar Bölüm 1’deki ikinci derece denklemin çözümleridir; kaç tane olduğunu diskriminant $\Delta = b^2 - 4ac$ söyler:

$\Delta > 0$ → iki kök (parabol ekseni iki noktada keser),
$\Delta = 0$ → bir kök (tepe tam eksenin üstünde),
$\Delta < 0$ → reel kök yok (parabol ekseni hiç kesmez).

Önemli olan ne?

$a$ parabolün yönünü ve genişliğini, tepe noktası ise dönüm yerini (min/max) verir. Optimizasyonda asıl peşinde olduğumuz şey bu tepe noktasıdır — fonksiyonun en küçük (veya en büyük) değeri orada.

13.5 Örnek

$f(x) = x^2 - 4x + 3$ paraboli:

$a = 1 > 0$ → kollar yukarı, minimum var.
Tepe: $x = -\dfrac{-4}{2(1)} = 2$, sonra $f(2) = 4 - 8 + 3 = -1$ → tepe $(2, -1)$.
Kökler: $x^2 - 4x + 3 = (x-1)(x-3) = 0 \Rightarrow x = 1,\; x = 3$.
$y$-kesişimi: $c = 3$.

İki tuzak

Tepe formülü $-\dfrac{b}{2a}$’dır; baştaki eksi işaretini unutma.
Her parabol $x$ eksenini kesmez ($\Delta < 0$ ise kök yoktur) — ama yine de bir tepe noktası vardır. “Kök yok” demek “tepe yok” demek değildir.

ML köprüsü

Bir modeli eğitirken, hatayı ölçen bir kayıp fonksiyonu (loss) tanımlarız — en yaygını ortalama kare hata (MSE). Tek bir ağırlığın fonksiyonu olarak çizildiğinde MSE tam bir paraboldür: yukarı açılan bir çukur. Eğitim, bu çukurun dibine (tepe noktası = minimum kayıp) inmektir; gradyan inişi adım adım o dibe yuvarlanır.

$a > 0$ olan çukur biçimi “konveks” demektir — tek bir minimum vardır, bu yüzden optimize etmesi kolaydır. Parabolün geometrisi, modelin nasıl öğrendiğinin doğrudan resmidir.

13.6 Alıştırmalar

$y = x^2 - 6x + 5$ paraboli yukarı mı aşağı mı açılır?
$y = -2x^2 + 4x$ paraboli tepe noktasının $x$ koordinatı nedir?
$y = x^2 - 4$ paraboli kökleri nelerdir?
$y = 3x^2 + 2x - 1$ paraboli $y$-kesişimi nedir?
$y = x^2 - 6x + 5$ paraboli tepe noktası ($x$ ve $y$)?
$y = -x^2 + 1$ paraboli maksimum mu minimum mu vardır?

Çözümler (önce kendin dene, sonra aç)

Yukarı ($a = 1 > 0$).
$x = -\dfrac{4}{2(-2)} = -\dfrac{4}{-4} = 1$.
$x^2 - 4 = 0 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = 2$ veya $x = -2$.
$c = -1$.
$x = -\dfrac{-6}{2(1)} = 3$, sonra $f(3) = 9 - 18 + 5 = -4$ → tepe $(3, -4)$.
Maksimum ($a = -1 < 0$, kollar aşağı).

Sonraki ders: Üstel ve Logaritmik Fonksiyon.

--- title: "Parabol" subtitle: "İkinci derece fonksiyonun U biçimi — ML'deki kayıp çukuru" --- İkinci derece bir fonksiyonun grafiği bir **parabol**dür — U biçimli bir eğri. Bölüm 1'de ikinci derece denklemleri çözmüştük; şimdi o denklemin grafiğine bakıyoruz. Bu şekil ML'de doğrudan karşına çıkar: kayıp fonksiyonu (loss) çoğu zaman tam böyle bir çukurdur ve eğitim, o çukurun dibini aramaktır. ## Parabol: $y = ax^2 + bx + c$ $$f(x) = ax^2 + bx + c \quad (a \neq 0)$$ ```{python} #| label: fig-parabol #| fig-cap: "$y = x^2 - 4x + 3$ paraboli: kollar yukarı ($a>0$), tepe noktası $(2,-1)$, kökler $x=1$ ve $x=3$, simetri ekseni $x=2$." #| echo: false import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt fig, ax = plt.subplots(figsize=(6, 5)) x = np.linspace(-0.5, 4.5, 200) ax.plot(x, x**2 - 4*x + 3, color="#15803D", linewidth=2.5, zorder=3) ax.axvline(2, color="#9ca3af", linestyle="--", linewidth=1.2, zorder=2) ax.annotate("simetri ekseni $x=2$", (2, 3.4), textcoords="offset points", xytext=(8, 0), fontsize=10, color="#6b7280") ax.plot(2, -1, "o", color="#DC2626", markersize=9, zorder=5) ax.annotate("tepe $(2,-1)$", (2, -1), textcoords="offset points", xytext=(12, -16), fontsize=11, color="#DC2626") ax.plot([1, 3], [0, 0], "o", color="#D97706", markersize=8, zorder=5) ax.annotate("kök $x=1$", (1, 0), textcoords="offset points", xytext=(-10, 12), ha="center", fontsize=10, color="#D97706") ax.annotate("kök $x=3$", (3, 0), textcoords="offset points", xytext=(12, 12), ha="center", fontsize=10, color="#D97706") ax.axhline(0, color="#9ca3af", linewidth=0.8) ax.set_xlim(-0.5, 4.5) ax.set_ylim(-2, 4) ax.grid(True, alpha=0.2) ax.set_xlabel("$x$"); ax.set_ylabel("$y$") plt.tight_layout() plt.show() ``` ## $a$ kolların yönünü ve genişliğini belirler - $a > 0$ → kollar **yukarı** açılır, parabolün bir **minimumu** vardır (çukur). - $a < 0$ → kollar **aşağı** açılır, bir **maksimumu** vardır (tepe). - $|a|$ büyüdükçe parabol **dar**laşır; küçüldükçe yayvanlaşır. ## Tepe noktası Tepe noktası, parabolün döndüğü yerdir — minimum ya da maksimum. $x$ koordinatı: $$x_{\text{tepe}} = -\frac{b}{2a}$$ Bu $x$'i fonksiyona koyunca tepe noktasının $y$ değeri çıkar. $a > 0$ ise tepe en alçak nokta (minimum), $a < 0$ ise en yüksek nokta (maksimum). ## Kökler ve diskriminant Parabolün $x$ eksenini kestiği yerler **köklerdir** ($y = 0$). Bunlar Bölüm 1'deki ikinci derece denklemin çözümleridir; kaç tane olduğunu diskriminant $\Delta = b^2 - 4ac$ söyler: - $\Delta > 0$ → iki kök (parabol ekseni iki noktada keser), - $\Delta = 0$ → bir kök (tepe tam eksenin üstünde), - $\Delta < 0$ → reel kök yok (parabol ekseni hiç kesmez). ::: {.callout-important title="Önemli olan ne?"} $a$ parabolün **yönünü ve genişliğini**, tepe noktası ise **dönüm yerini** (min/max) verir. Optimizasyonda asıl peşinde olduğumuz şey bu tepe noktasıdır — fonksiyonun en küçük (veya en büyük) değeri orada. ::: ## Örnek $f(x) = x^2 - 4x + 3$ paraboli: - $a = 1 > 0$ → kollar yukarı, minimum var. - Tepe: $x = -\dfrac{-4}{2(1)} = 2$, sonra $f(2) = 4 - 8 + 3 = -1$ → tepe $(2, -1)$. - Kökler: $x^2 - 4x + 3 = (x-1)(x-3) = 0 \Rightarrow x = 1,\; x = 3$. - $y$-kesişimi: $c = 3$. ::: {.callout-warning title="İki tuzak"} - Tepe formülü $-\dfrac{b}{2a}$'dır; baştaki eksi işaretini unutma. - Her parabol $x$ eksenini kesmez ($\Delta < 0$ ise kök yoktur) — ama yine de bir tepe noktası vardır. "Kök yok" demek "tepe yok" demek değildir. ::: ::: {.callout-tip title="ML köprüsü"} Bir modeli eğitirken, hatayı ölçen bir **kayıp fonksiyonu** (loss) tanımlarız — en yaygını ortalama kare hata (MSE). Tek bir ağırlığın fonksiyonu olarak çizildiğinde MSE tam bir **parabol**dür: yukarı açılan bir çukur. Eğitim, bu çukurun **dibine** (tepe noktası = minimum kayıp) inmektir; gradyan inişi adım adım o dibe yuvarlanır. $a > 0$ olan çukur biçimi "konveks" demektir — tek bir minimum vardır, bu yüzden optimize etmesi kolaydır. Parabolün geometrisi, modelin nasıl öğrendiğinin doğrudan resmidir. ::: ## Alıştırmalar 1. $y = x^2 - 6x + 5$ paraboli yukarı mı aşağı mı açılır? 2. $y = -2x^2 + 4x$ paraboli tepe noktasının $x$ koordinatı nedir? 3. $y = x^2 - 4$ paraboli kökleri nelerdir? 4. $y = 3x^2 + 2x - 1$ paraboli $y$-kesişimi nedir? 5. $y = x^2 - 6x + 5$ paraboli tepe noktası ($x$ ve $y$)? 6. $y = -x^2 + 1$ paraboli maksimum mu minimum mu vardır? ::: {.callout-note collapse="true" title="Çözümler (önce kendin dene, sonra aç)"} 1. Yukarı ($a = 1 > 0$). 2. $x = -\dfrac{4}{2(-2)} = -\dfrac{4}{-4} = 1$. 3. $x^2 - 4 = 0 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = 2$ veya $x = -2$. 4. $c = -1$. 5. $x = -\dfrac{-6}{2(1)} = 3$, sonra $f(3) = 9 - 18 + 5 = -4$ → tepe $(3, -4)$. 6. Maksimum ($a = -1 < 0$, kollar aşağı). ::: --- *Sonraki ders: Üstel ve Logaritmik Fonksiyon.*