5 Üslü İfadeler

Tekrarlı çarpmanın kuralları — sıfır, negatif ve kesirli üsler

Üs, bir sayıyı kendisiyle kaç kez çarptığımızı gösteren kısa yazımdır. Büyük ve küçük sayılarla, büyümeyle, mesafeyle çalışırken her yerde karşına çıkar — bu yüzden kurallarının mantığını oturtmak önemli.

5.1 Üs nedir?

\[a^n = \underbrace{a \cdot a \cdots a}_{n \text{ kez}}\]

Burada $a$ taban, $n$ üstür. Örneğin $2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$.

Dikkat: $2^3$, $2 \times 3 = 6$ değildir. Üs, çarpan sayısını söyler, çarpanın kendisini değil.

5.2 Temel kurallar

\[a^m \cdot a^n = a^{m+n} \qquad \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \qquad (a^m)^n = a^{mn}\]

\[(ab)^n = a^n b^n \qquad \left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}\]

Mantığı basit: aynı tabanı çarparsan üsler toplanır ($a^2 \cdot a^3 = (aa)(aaa) = a^5$), bölersen çıkarılır, üssün üssünü alırsan çarpılır.

5.3 Sıfır ve negatif üs

Bunları ezberleme — bölme kuralındaki örüntüden çıkar. $2$’nin kuvvetlerinde her adımda 2’ye bölersek:

Üs	Değer
$2^3$	$8$
$2^2$	$4$	$\div 2$
$2^1$	$2$	$\div 2$
$2^0$	$1$	$\div 2$
$2^{-1}$	$\tfrac{1}{2}$	$\div 2$
$2^{-2}$	$\tfrac{1}{4}$	$\div 2$

Örüntü kendiliğinden iki kuralı veriyor:

\[a^0 = 1 \quad (a \neq 0) \qquad\qquad a^{-n} = \frac{1}{a^n}\]

Negatif üs, sayıyı negatif yapmaz; tersini (resiprokalini) alır.

5.4 Kesirli üs = kök

Payda kök derecesini verir:

\[a^{1/n} = \sqrt[n]{a} \qquad a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m}\]

Örneğin $16^{1/2} = \sqrt{16} = 4$ ve $8^{1/3} = \sqrt[3]{8} = 2$.

Altın kural

Üs kuralları yalnızca çarpma, bölme ve kuvvet işlemlerinde geçerlidir. Toplama bunları birleştirmez: \[a^m \cdot a^n = a^{m+n} \quad \checkmark \qquad\qquad a^m + a^n \neq a^{m+n}\] $a^m + a^n$ sadeleşmez, öyle bırakılır.

İki sinsi hata

$(a+b)^n \neq a^n + b^n$. Örneğin $(x+3)^2 = x^2 + 6x + 9$, asla $x^2 + 9$ değil. (Bunu bir sonraki derste özdeşliklerle göreceğiz.)
İşaret–parantez farkı: $-3^2 = -(3^2) = -9$, ama $(-3)^2 = 9$. Parantez yoksa üs sadece sayıya etki eder, eksiye değil.

5.5 Örnekler

Örnek 1. $2^3 \cdot 2^4 = 2^{3+4} = 2^7 = 128$

Örnek 2. $\dfrac{x^6}{x^2} = x^{6-2} = x^4$

Örnek 3. $(x^3)^2 = x^{3 \cdot 2} = x^6$

Örnek 4. $(2x)^3 = 2^3 x^3 = 8x^3$

Örnek 5. $5^0 = 1$ ve $2^{-3} = \dfrac{1}{2^3} = \dfrac{1}{8}$

Örnek 6. $27^{1/3} = \sqrt[3]{27} = 3$

ML köprüsü

Üsler makine öğrenmesinin her katmanında: üstel fonksiyon $e^x$ softmax ve sigmoid’in içinde, $2^n$ büyümesi algoritma karmaşıklığında, bilimsel gösterim ($10^{-4}$ gibi) küçük öğrenme oranları ve gradyanlarda. Ayrıca vektör büyüklüğündeki kareler ($x^2 + y^2$) ve bir sonraki dersin konusu logaritma — hepsi üssün dilini konuşur. Logaritma, üssün tersidir.

5.6 Alıştırmalar

Sadeleştir / hesapla:

$x^3 \cdot x^5$
$\dfrac{a^7}{a^3}$
$(y^2)^4$
$3^{-2}$
$25^{1/2}$
$(2x^2)^3$
$7^0 + 2^3$
$-3^2$ kaçtır? (parantez yok)

Çözümler (önce kendin dene, sonra aç)

$x^{3+5} = x^8$
$a^{7-3} = a^4$
$y^{2 \cdot 4} = y^8$
$\dfrac{1}{3^2} = \dfrac{1}{9}$
$\sqrt{25} = 5$
$2^3 (x^2)^3 = 8x^6$
$1 + 8 = 9$ (çünkü $7^0 = 1$)
$-(3^2) = -9$ — parantez olmadığı için üs sadece 3’e etki eder. (Karşılaştır: $(-3)^2 = 9$.)

Sonraki ders: Çarpanlara Ayırma.

--- title: "Üslü İfadeler" subtitle: "Tekrarlı çarpmanın kuralları — sıfır, negatif ve kesirli üsler" --- Üs, bir sayıyı kendisiyle kaç kez çarptığımızı gösteren kısa yazımdır. Büyük ve küçük sayılarla, büyümeyle, mesafeyle çalışırken her yerde karşına çıkar — bu yüzden kurallarının mantığını oturtmak önemli. ## Üs nedir? $$a^n = \underbrace{a \cdot a \cdots a}_{n \text{ kez}}$$ Burada $a$ **taban**, $n$ **üs**tür. Örneğin $2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$. Dikkat: $2^3$, $2 \times 3 = 6$ **değildir**. Üs, çarpan sayısını söyler, çarpanın kendisini değil. ## Temel kurallar $$a^m \cdot a^n = a^{m+n} \qquad \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \qquad (a^m)^n = a^{mn}$$ $$(ab)^n = a^n b^n \qquad \left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}$$ Mantığı basit: **aynı tabanı çarparsan üsler toplanır** ($a^2 \cdot a^3 = (aa)(aaa) = a^5$), **bölersen çıkarılır**, **üssün üssünü alırsan çarpılır**. ## Sıfır ve negatif üs Bunları ezberleme — bölme kuralındaki örüntüden çıkar. $2$'nin kuvvetlerinde her adımda 2'ye bölersek: | Üs | Değer | | |:---:|:---:|:---| | $2^3$ | $8$ | | | $2^2$ | $4$ | $\div 2$ | | $2^1$ | $2$ | $\div 2$ | | $2^0$ | $1$ | $\div 2$ | | $2^{-1}$ | $\tfrac{1}{2}$ | $\div 2$ | | $2^{-2}$ | $\tfrac{1}{4}$ | $\div 2$ | Örüntü kendiliğinden iki kuralı veriyor: $$a^0 = 1 \quad (a \neq 0) \qquad\qquad a^{-n} = \frac{1}{a^n}$$ Negatif üs, sayıyı negatif yapmaz; **tersini (resiprokalini)** alır. ## Kesirli üs = kök Payda kök derecesini verir: $$a^{1/n} = \sqrt[n]{a} \qquad a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m}$$ Örneğin $16^{1/2} = \sqrt{16} = 4$ ve $8^{1/3} = \sqrt[3]{8} = 2$. ::: {.callout-important title="Altın kural"} Üs kuralları yalnızca **çarpma, bölme ve kuvvet** işlemlerinde geçerlidir. Toplama bunları birleştirmez: $$a^m \cdot a^n = a^{m+n} \quad \checkmark \qquad\qquad a^m + a^n \neq a^{m+n}$$ $a^m + a^n$ sadeleşmez, öyle bırakılır. ::: ::: {.callout-warning title="İki sinsi hata"} - $(a+b)^n \neq a^n + b^n$. Örneğin $(x+3)^2 = x^2 + 6x + 9$, asla $x^2 + 9$ değil. (Bunu bir sonraki derste özdeşliklerle göreceğiz.) - İşaret–parantez farkı: $-3^2 = -(3^2) = -9$, ama $(-3)^2 = 9$. Parantez yoksa üs sadece sayıya etki eder, eksiye değil. ::: ## Örnekler **Örnek 1.** $2^3 \cdot 2^4 = 2^{3+4} = 2^7 = 128$ **Örnek 2.** $\dfrac{x^6}{x^2} = x^{6-2} = x^4$ **Örnek 3.** $(x^3)^2 = x^{3 \cdot 2} = x^6$ **Örnek 4.** $(2x)^3 = 2^3 x^3 = 8x^3$ **Örnek 5.** $5^0 = 1$ ve $2^{-3} = \dfrac{1}{2^3} = \dfrac{1}{8}$ **Örnek 6.** $27^{1/3} = \sqrt[3]{27} = 3$ ::: {.callout-tip title="ML köprüsü"} Üsler makine öğrenmesinin her katmanında: üstel fonksiyon $e^x$ softmax ve sigmoid'in içinde, $2^n$ büyümesi algoritma karmaşıklığında, bilimsel gösterim ($10^{-4}$ gibi) küçük öğrenme oranları ve gradyanlarda. Ayrıca vektör büyüklüğündeki kareler ($x^2 + y^2$) ve bir sonraki dersin konusu logaritma — hepsi üssün dilini konuşur. Logaritma, üssün **tersidir**. ::: ## Alıştırmalar Sadeleştir / hesapla: 1. $x^3 \cdot x^5$ 2. $\dfrac{a^7}{a^3}$ 3. $(y^2)^4$ 4. $3^{-2}$ 5. $25^{1/2}$ 6. $(2x^2)^3$ 7. $7^0 + 2^3$ 8. $-3^2$ kaçtır? (parantez yok) ::: {.callout-note collapse="true" title="Çözümler (önce kendin dene, sonra aç)"} 1. $x^{3+5} = x^8$ 2. $a^{7-3} = a^4$ 3. $y^{2 \cdot 4} = y^8$ 4. $\dfrac{1}{3^2} = \dfrac{1}{9}$ 5. $\sqrt{25} = 5$ 6. $2^3 (x^2)^3 = 8x^6$ 7. $1 + 8 = 9$ (çünkü $7^0 = 1$) 8. $-(3^2) = -9$ — parantez olmadığı için üs sadece 3'e etki eder. (Karşılaştır: $(-3)^2 = 9$.) ::: --- *Sonraki ders: Çarpanlara Ayırma.*

Üs	Değer
\(2^3\)	\(8\)
\(2^2\)	\(4\)	\(\div 2\)
\(2^1\)	\(2\)	\(\div 2\)
\(2^0\)	\(1\)	\(\div 2\)
\(2^{-1}\)	\(\tfrac{1}{2}\)	\(\div 2\)
\(2^{-2}\)	\(\tfrac{1}{4}\)	\(\div 2\)