11 Fonksiyon Kavramı

Girdiyi çıktıya bağlayan kural — ML modellerinin temel taşı

Bölüm 1’de denklemleri çözdük. Şimdi bir adım yukarı çıkıyoruz: fonksiyon. Fonksiyon, bir girdiyi bir çıktıya bağlayan kuraldır. Bu kavram tüm bölümün — ve aslında makine öğrenmesinin — temelidir: bir model, sonuçta bir fonksiyondur.

11.1 Fonksiyon nedir?

Fonksiyonu bir makine gibi düşün: içine bir girdi koyarsın, kuralını uygular, sana tek bir çıktı verir.

Şekil 11.1: Fonksiyon bir makinedir: bir girdi alır ($x$), kuralı uygular ($f$), tek bir çıktı verir ($f(x)$).

Fonksiyonun tek belirleyici kuralı şudur: her girdiye karşılık tam olarak bir çıktı vardır. Aynı girdi her seferinde aynı çıktıyı vermelidir.

11.2 $f(x)$ gösterimi

$f(x)$, “$f$ fonksiyonunun $x$ girdisindeki değeri” demektir — $f$ çarpı $x$ değil. Kural genelde bir formülle yazılır:

\[f(x) = 2x + 1\]

Bir değeri hesaplamak için $x$ yerine sayıyı koyarsın:

\[f(3) = 2(3) + 1 = 7 \qquad f(0) = 1 \qquad f(-2) = -3\]

11.3 Tanım ve görüntü kümesi

Tanım kümesi (domain): fonksiyona girebilecek tüm geçerli girdiler.
Görüntü kümesi (range): çıkabilecek tüm olası çıktılar.

Bazı kurallar her girdiyi kabul etmez:

\[f(x) = \sqrt{x} \;\Rightarrow\; \text{tanım kümesi } x \ge 0 \qquad h(x) = \frac{1}{x-2} \;\Rightarrow\; x \neq 2\]

Çünkü negatifin karekökü ve sıfıra bölme tanımsızdır.

Fonksiyonu fonksiyon yapan kural

Her girdi tam olarak bir çıktıya gider. Bir girdi iki farklı çıktı verebiliyorsa, o bir fonksiyon değildir. (Grafikte: dikey bir doğru eğriyi en fazla bir noktada kesmeli — dikey doğru testi.)

İki tuzak

$f(x)$ bir çarpım değildir; “$x$’teki $f$ değeri” demektir.
Tanım kümesini kontrol et: paydada sıfır olamaz, kök içinde negatif olamaz.

11.4 Örnekler

Örnek 1. $f(x) = 2x + 1$ için $f(5) = 2(5) + 1 = 11$.

Örnek 2. $g(x) = x^2$ için $g(-3) = (-3)^2 = 9$.

Örnek 3 (tanım kümesi). $f(x) = \dfrac{1}{x}$ için tanım kümesi $x \neq 0$.

ML köprüsü

Bir makine öğrenmesi modeli, fonksiyonun ta kendisidir: girdi olarak özellikleri ($x$) alır, çıktı olarak tahmini ($f(x)$) verir. Daha önce gördüğümüz $y = wx + b$ bir fonksiyondur; bir sinir ağı ise iç içe geçmiş dev bir fonksiyon bileşkesidir (bunu ileride göreceğiz). Bir olasılık çıktısının görüntü kümesi $[0, 1]$’dir — Bölüm 1’deki eşitsizlik aralığıyla aynı fikir.

11.5 Alıştırmalar

$f(x) = 3x - 2$ için $f(4) = ?$
$f(x) = x^2 + 1$ için $f(-3) = ?$
$g(x) = 2x + 5$ için $g(0) = ?$
$f(x) = \sqrt{x}$ fonksiyonunun tanım kümesi nedir? (aralık notasyonuyla)
$f(x) = \dfrac{1}{x}$ fonksiyonunun tanım kümesi nedir?
$f(x) = 5 - 2x$ için $f(3) = ?$

Çözümler (önce kendin dene, sonra aç)

$3(4) - 2 = 10$
$(-3)^2 + 1 = 9 + 1 = 10$
$2(0) + 5 = 5$
$x \ge 0$, yani $[0, \infty)$ (kareköke negatif giremez)
$x \neq 0$ (sıfıra bölme tanımsız)
$5 - 2(3) = 5 - 6 = -1$

Sonraki ders: Doğrusal Fonksiyon ve Eğim.

--- title: "Fonksiyon Kavramı" subtitle: "Girdiyi çıktıya bağlayan kural — ML modellerinin temel taşı" --- Bölüm 1'de denklemleri çözdük. Şimdi bir adım yukarı çıkıyoruz: **fonksiyon**. Fonksiyon, bir girdiyi bir çıktıya bağlayan kuraldır. Bu kavram tüm bölümün — ve aslında makine öğrenmesinin — temelidir: bir model, sonuçta bir fonksiyondur. ## Fonksiyon nedir? Fonksiyonu bir **makine** gibi düşün: içine bir girdi koyarsın, kuralını uygular, sana tek bir çıktı verir. ```{python} #| label: fig-fonksiyon-makinesi #| fig-cap: "Fonksiyon bir makinedir: bir girdi alır ($x$), kuralı uygular ($f$), tek bir çıktı verir ($f(x)$)." #| echo: false import matplotlib.pyplot as plt from matplotlib.patches import FancyBboxPatch fig, ax = plt.subplots(figsize=(7, 2.6)) box = FancyBboxPatch((0.4, 0.28), 0.2, 0.46, boxstyle="round,pad=0.02", facecolor="#15803D", alpha=0.15, edgecolor="#15803D", linewidth=2, transform=ax.transAxes) ax.add_patch(box) ax.text(0.5, 0.5, "$f$", ha="center", va="center", fontsize=30, color="#15803D", transform=ax.transAxes) ax.annotate("", xy=(0.39, 0.5), xytext=(0.15, 0.5), xycoords="axes fraction", arrowprops=dict(arrowstyle="-|>", color="#374151", lw=2)) ax.text(0.12, 0.5, "$x$", ha="right", va="center", fontsize=20, transform=ax.transAxes) ax.text(0.27, 0.6, "girdi", ha="center", va="bottom", fontsize=11, color="#6b7280", transform=ax.transAxes) ax.annotate("", xy=(0.85, 0.5), xytext=(0.61, 0.5), xycoords="axes fraction", arrowprops=dict(arrowstyle="-|>", color="#374151", lw=2)) ax.text(0.88, 0.5, "$f(x)$", ha="left", va="center", fontsize=20, transform=ax.transAxes) ax.text(0.73, 0.6, "çıktı", ha="center", va="bottom", fontsize=11, color="#6b7280", transform=ax.transAxes) ax.axis("off") plt.tight_layout() plt.show() ``` Fonksiyonun tek belirleyici kuralı şudur: **her girdiye karşılık tam olarak bir çıktı** vardır. Aynı girdi her seferinde aynı çıktıyı vermelidir. ## $f(x)$ gösterimi $f(x)$, "$f$ fonksiyonunun $x$ girdisindeki değeri" demektir — $f$ çarpı $x$ değil. Kural genelde bir formülle yazılır: $$f(x) = 2x + 1$$ Bir değeri hesaplamak için $x$ yerine sayıyı koyarsın: $$f(3) = 2(3) + 1 = 7 \qquad f(0) = 1 \qquad f(-2) = -3$$ ## Tanım ve görüntü kümesi - **Tanım kümesi (domain):** fonksiyona girebilecek tüm geçerli girdiler. - **Görüntü kümesi (range):** çıkabilecek tüm olası çıktılar. Bazı kurallar her girdiyi kabul etmez: $$f(x) = \sqrt{x} \;\Rightarrow\; \text{tanım kümesi } x \ge 0 \qquad h(x) = \frac{1}{x-2} \;\Rightarrow\; x \neq 2$$ Çünkü negatifin karekökü ve sıfıra bölme tanımsızdır. ::: {.callout-important title="Fonksiyonu fonksiyon yapan kural"} Her girdi **tam olarak bir** çıktıya gider. Bir girdi iki farklı çıktı verebiliyorsa, o bir fonksiyon değildir. (Grafikte: dikey bir doğru eğriyi en fazla bir noktada kesmeli — dikey doğru testi.) ::: ::: {.callout-warning title="İki tuzak"} - $f(x)$ bir çarpım değildir; "$x$'teki $f$ değeri" demektir. - Tanım kümesini kontrol et: paydada sıfır olamaz, kök içinde negatif olamaz. ::: ## Örnekler **Örnek 1.** $f(x) = 2x + 1$ için $f(5) = 2(5) + 1 = 11$. **Örnek 2.** $g(x) = x^2$ için $g(-3) = (-3)^2 = 9$. **Örnek 3 (tanım kümesi).** $f(x) = \dfrac{1}{x}$ için tanım kümesi $x \neq 0$. ::: {.callout-tip title="ML köprüsü"} Bir makine öğrenmesi modeli, **fonksiyonun ta kendisidir**: girdi olarak özellikleri ($x$) alır, çıktı olarak tahmini ($f(x)$) verir. Daha önce gördüğümüz $y = wx + b$ bir fonksiyondur; bir sinir ağı ise iç içe geçmiş dev bir fonksiyon bileşkesidir (bunu ileride göreceğiz). Bir olasılık çıktısının görüntü kümesi $[0, 1]$'dir — Bölüm 1'deki eşitsizlik aralığıyla aynı fikir. ::: ## Alıştırmalar 1. $f(x) = 3x - 2$ için $f(4) = ?$ 2. $f(x) = x^2 + 1$ için $f(-3) = ?$ 3. $g(x) = 2x + 5$ için $g(0) = ?$ 4. $f(x) = \sqrt{x}$ fonksiyonunun tanım kümesi nedir? (aralık notasyonuyla) 5. $f(x) = \dfrac{1}{x}$ fonksiyonunun tanım kümesi nedir? 6. $f(x) = 5 - 2x$ için $f(3) = ?$ ::: {.callout-note collapse="true" title="Çözümler (önce kendin dene, sonra aç)"} 1. $3(4) - 2 = 10$ 2. $(-3)^2 + 1 = 9 + 1 = 10$ 3. $2(0) + 5 = 5$ 4. $x \ge 0$, yani $[0, \infty)$ (kareköke negatif giremez) 5. $x \neq 0$ (sıfıra bölme tanımsız) 6. $5 - 2(3) = 5 - 6 = -1$ ::: --- *Sonraki ders: Doğrusal Fonksiyon ve Eğim.*

11.1 Fonksiyon nedir?

11.2 \(f(x)\) gösterimi

11.3 Tanım ve görüntü kümesi

11.4 Örnekler

11.5 Alıştırmalar