17 Diziler

Sıralı sayı listeleri — verinin indekslenmesi

Bir dizi, belirli bir sırada yazılmış sayı listesidir. Basit görünür ama notasyonu ML’in dilidir: veri noktalarını, ağırlıkları, iterasyonları hep alt indisli bir diziyle yazarız. Bu ders aynı zamanda bir sonraki dersin — toplam sembolünün — zeminidir.

17.1 Dizi nedir?

Bir dizi, terimleri sırayla dizilmiş sayılardır:

\[a_1,\; a_2,\; a_3,\; a_4,\; \dots\]

Her sayı bir terim, sırasını gösteren sayı ise indistir. $a_n$, dizinin $n$. terimi demektir. Çoğu dizi bir genel terim formülüyle tanımlanır; örneğin $a_n = 2n$ dizisi $2, 4, 6, 8, \dots$ verir (her $n$’i koyarak terimi bulursun).

17.2 Aritmetik dizi: sabit fark

Ardışık terimler arasındaki fark sabitse dizi aritmetiktir. Bu sabite ortak fark ($d$) denir:

\[a_n = a_1 + (n - 1)\,d\]

Örnek: $3, 7, 11, 15, \dots$ — her adımda $+4$, yani $d = 4$. Bu, Doğrusal Fonksiyon ve Eğim dersindeki doğrusal fonksiyonun ayrık hâlidir (sabit fark = sabit eğim).

17.3 Geometrik dizi: sabit oran

Ardışık terimler arasındaki oran sabitse dizi geometriktir. Bu sabite ortak oran ($r$) denir:

\[a_n = a_1 \cdot r^{\,n-1}\]

Örnek: $2, 6, 18, 54, \dots$ — her adımda $\times 3$, yani $r = 3$. Bu da Üstel ve Logaritmik Fonksiyon dersindeki üstel fonksiyonun ayrık hâlidir (sabit oran = üstel büyüme).

Şekil 17.1: Aritmetik dizi (sabit fark) bir doğru üstünde, geometrik dizi (sabit oran) bir üstel eğri üstünde dizilen ayrık noktalardır.

17.4 Bir terimi bulmak

Formüle indisi koyarsın. $a_1 = 5$, $d = 3$ olan aritmetik dizide:

\[a_4 = 5 + (4 - 1)\cdot 3 = 5 + 9 = 14\]

İki rejim, tanıdık

Aritmetik dizi = sabit fark (ayrık doğru), geometrik dizi = sabit oran (ayrık üstel). Bunlar doğrusal (Doğrusal Fonksiyon ve Eğim dersi) ve üstel (Üstel ve Logaritmik Fonksiyon dersi) büyümenin tam olarak aynı iki rejimi — sadece sürekli eğri yerine ayrık noktalar.

İki tuzak

Formülde $(n - 1)$ var, $n$ değil: ilk terim $a_1$’in çarpanı/üssü sıfırdır. En sık yapılan hata buradaki bir-kayma (off-by-one).
Aritmetik mi geometrik mi karıştırma: ardışık terimleri çıkararak (fark sabit mi?) ve bölerek (oran sabit mi?) kontrol et.

17.5 Örnek

Örnek 1. $a_n = 3n - 1$: ilk terimler $2, 5, 8, 11, \dots$ — aritmetik, $d = 3$.

Örnek 2. $5, 10, 20, 40, \dots$: her adımda $\times 2$ → geometrik, $r = 2$, genel terim $a_n = 5 \cdot 2^{\,n-1}$.

ML köprüsü

Alt indis notasyonu ML’in temel yazımıdır:

Eğitim verisi sıralı bir dizidir: $x_1, x_2, \dots, x_n$ (her $x_i$ bir örnek). Ağırlıklar da öyle: $w_1, w_2, \dots$
Eğitim adımları (iterasyon/epoch) bir dizi oluşturur; öğrenme oranı çoğu zaman geometrik bir diziyle azaltılır (üstel çürüme — Üstel ve Logaritmik Fonksiyon dersi).
Bir sonraki ders olan toplam sembolü, bir dizinin terimlerini toplamaktır — ki ML’de ortalama, kayıp ve iç çarpım hep böyle bir toplamdır.

17.6 Alıştırmalar

$a_n = 2n + 3$ dizisinin ilk üç terimi nedir?
$3, 7, 11, 15, \dots$ dizisi aritmetik mi geometrik mi? Ortak fark/oran kaç?
$2, 6, 18, 54, \dots$ dizisi aritmetik mi geometrik mi? Ortak fark/oran kaç?
Aritmetik dizide $a_1 = 5$, $d = 3$ ise $a_4 = ?$
Geometrik dizide $a_1 = 2$, $r = 2$ ise $a_5 = ?$
$a_n = n^2$ dizisinin 4. terimi nedir?

Çözümler (önce kendin dene, sonra aç)

$2(1)+3 = 5$, $2(2)+3 = 7$, $2(3)+3 = 9$ → $5, 7, 9$
Aritmetik; ardışık fark sabit $4$ → $d = 4$
Geometrik; ardışık oran sabit $3$ → $r = 3$
$a_4 = 5 + (4-1)\cdot 3 = 5 + 9 = 14$
$a_5 = 2 \cdot 2^{\,5-1} = 2 \cdot 16 = 32$
$a_4 = 4^2 = 16$

Sonraki ders: Toplam Sembolü (Σ).

--- title: "Diziler" subtitle: "Sıralı sayı listeleri — verinin indekslenmesi" --- Bir **dizi**, belirli bir sırada yazılmış sayı listesidir. Basit görünür ama notasyonu ML'in dilidir: veri noktalarını, ağırlıkları, iterasyonları hep alt indisli bir diziyle yazarız. Bu ders aynı zamanda bir sonraki dersin — toplam sembolünün — zeminidir. ## Dizi nedir? Bir dizi, terimleri sırayla dizilmiş sayılardır: $$a_1,\; a_2,\; a_3,\; a_4,\; \dots$$ Her sayı bir **terim**, sırasını gösteren sayı ise **indis**tir. $a_n$, dizinin **$n$. terimi** demektir. Çoğu dizi bir **genel terim** formülüyle tanımlanır; örneğin $a_n = 2n$ dizisi $2, 4, 6, 8, \dots$ verir (her $n$'i koyarak terimi bulursun). ## Aritmetik dizi: sabit fark Ardışık terimler arasındaki **fark sabitse** dizi aritmetiktir. Bu sabite **ortak fark** ($d$) denir: $$a_n = a_1 + (n - 1)\,d$$ Örnek: $3, 7, 11, 15, \dots$ — her adımda $+4$, yani $d = 4$. Bu, Doğrusal Fonksiyon ve Eğim dersindeki doğrusal fonksiyonun ayrık hâlidir (sabit fark = sabit eğim). ## Geometrik dizi: sabit oran Ardışık terimler arasındaki **oran sabitse** dizi geometriktir. Bu sabite **ortak oran** ($r$) denir: $$a_n = a_1 \cdot r^{\,n-1}$$ Örnek: $2, 6, 18, 54, \dots$ — her adımda $\times 3$, yani $r = 3$. Bu da Üstel ve Logaritmik Fonksiyon dersindeki üstel fonksiyonun ayrık hâlidir (sabit oran = üstel büyüme). ```{python} #| label: fig-diziler #| fig-cap: "Aritmetik dizi (sabit fark) bir doğru üstünde, geometrik dizi (sabit oran) bir üstel eğri üstünde dizilen ayrık noktalardır." #| echo: false import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt fig, (ax1, ax2) = plt.subplots(1, 2, figsize=(8.5, 4)) n = np.arange(1, 7) arith = 2*n + 1 ax1.plot(n, arith, "-", color="#15803D", linewidth=1, alpha=0.4, zorder=2) ax1.plot(n, arith, "o", color="#15803D", markersize=9, zorder=3) ax1.set_title("Aritmetik: $a_n = 2n+1$ (fark 2)", fontsize=11) ax1.set_xlabel("$n$"); ax1.set_ylabel("$a_n$") ax1.grid(True, alpha=0.2) geom = 2.0**n ax2.plot(n, geom, "-", color="#D97706", linewidth=1, alpha=0.4, zorder=2) ax2.plot(n, geom, "o", color="#D97706", markersize=9, zorder=3) ax2.set_title("Geometrik: $a_n = 2^n$ (oran 2)", fontsize=11) ax2.set_xlabel("$n$"); ax2.set_ylabel("$a_n$") ax2.grid(True, alpha=0.2) plt.tight_layout() plt.show() ``` ## Bir terimi bulmak Formüle indisi koyarsın. $a_1 = 5$, $d = 3$ olan aritmetik dizide: $$a_4 = 5 + (4 - 1)\cdot 3 = 5 + 9 = 14$$ ::: {.callout-important title="İki rejim, tanıdık"} **Aritmetik dizi = sabit fark** (ayrık doğru), **geometrik dizi = sabit oran** (ayrık üstel). Bunlar doğrusal (Doğrusal Fonksiyon ve Eğim dersi) ve üstel (Üstel ve Logaritmik Fonksiyon dersi) büyümenin tam olarak aynı iki rejimi — sadece sürekli eğri yerine ayrık noktalar. ::: ::: {.callout-warning title="İki tuzak"} - Formülde $(n - 1)$ var, $n$ değil: ilk terim $a_1$'in çarpanı/üssü sıfırdır. En sık yapılan hata buradaki bir-kayma (off-by-one). - Aritmetik mi geometrik mi karıştırma: ardışık terimleri **çıkararak** (fark sabit mi?) ve **bölerek** (oran sabit mi?) kontrol et. ::: ## Örnek **Örnek 1.** $a_n = 3n - 1$: ilk terimler $2, 5, 8, 11, \dots$ — aritmetik, $d = 3$. **Örnek 2.** $5, 10, 20, 40, \dots$: her adımda $\times 2$ → geometrik, $r = 2$, genel terim $a_n = 5 \cdot 2^{\,n-1}$. ::: {.callout-tip title="ML köprüsü"} Alt indis notasyonu ML'in temel yazımıdır: - Eğitim verisi sıralı bir dizidir: $x_1, x_2, \dots, x_n$ (her $x_i$ bir örnek). Ağırlıklar da öyle: $w_1, w_2, \dots$ - Eğitim adımları (iterasyon/epoch) bir dizi oluşturur; öğrenme oranı çoğu zaman **geometrik bir diziyle** azaltılır (üstel çürüme — Üstel ve Logaritmik Fonksiyon dersi). - Bir sonraki ders olan toplam sembolü, bir dizinin terimlerini toplamaktır — ki ML'de ortalama, kayıp ve iç çarpım hep böyle bir toplamdır. ::: ## Alıştırmalar 1. $a_n = 2n + 3$ dizisinin ilk üç terimi nedir? 2. $3, 7, 11, 15, \dots$ dizisi aritmetik mi geometrik mi? Ortak fark/oran kaç? 3. $2, 6, 18, 54, \dots$ dizisi aritmetik mi geometrik mi? Ortak fark/oran kaç? 4. Aritmetik dizide $a_1 = 5$, $d = 3$ ise $a_4 = ?$ 5. Geometrik dizide $a_1 = 2$, $r = 2$ ise $a_5 = ?$ 6. $a_n = n^2$ dizisinin 4. terimi nedir? ::: {.callout-note collapse="true" title="Çözümler (önce kendin dene, sonra aç)"} 1. $2(1)+3 = 5$, $2(2)+3 = 7$, $2(3)+3 = 9$ → $5, 7, 9$ 2. Aritmetik; ardışık fark sabit $4$ → $d = 4$ 3. Geometrik; ardışık oran sabit $3$ → $r = 3$ 4. $a_4 = 5 + (4-1)\cdot 3 = 5 + 9 = 14$ 5. $a_5 = 2 \cdot 2^{\,5-1} = 2 \cdot 16 = 32$ 6. $a_4 = 4^2 = 16$ ::: --- *Sonraki ders: Toplam Sembolü (Σ).*