10 Logaritma

Üssün tersi — çarpımı toplama çeviren işlem

Logaritma, üs almanın tersidir. Üs “bu tabanı şu kadar kez çarparsam ne olur?” diye sorar; logaritma ters yönden sorar: “bu sayıyı elde etmek için tabanı kaçıncı kuvvete yükseltmeliyim?” Bu ters bakış, makine öğrenmesinin en kritik araçlarından biridir (log-loss, olabilirlik).

10.1 Logaritma nedir?

Tanım iki yönde okunur:

\[\log_b(x) = y \quad\Longleftrightarrow\quad b^y = x\]

Örneğin $\log_2(8) = 3$, çünkü $2^3 = 8$. Yani $\log_2 8$ sorusu aslında “2’yi kaçıncı kuvvete yükseltirsem 8 olur?” demektir.

Üs tablosundan okumak en kolayı:

Üs ifadesi	Logaritma ifadesi
$2^3 = 8$	$\log_2 8 = 3$
$10^2 = 100$	$\log_{10} 100 = 2$
$5^0 = 1$	$\log_5 1 = 0$
$3^1 = 3$	$\log_3 3 = 1$

10.2 Üs ve logaritma: ayna görüntüsü

İkisi birbirinin tersi olduğu için grafikleri $y = x$ doğrusuna göre simetriktir — biri diğerinin aynadaki yansımasıdır:

Şekil 10.1: Üs ve logaritma birbirinin tersidir: $y = 2^x$ ile $y = \log_2 x$, $y = x$ doğrusuna göre simetriktir.

10.3 Yaygın tabanlar

Taban 10 — $\log_{10}$, çoğu yerde sadece $\log$ yazılır.
Taban $e$ — $\log_e$ yerine $\ln$ yazılır (doğal logaritma). $e \approx 2{,}718$. Kalkülüs ve ML’de en sık bu kullanılır.
Taban 2 — $\log_2$, bilgisayar bilimi ve bilgi teorisinde.

10.4 Logaritma kuralları

Üssün tersi olduğu için kurallar da üs kurallarının aynası: üste toplanan şey, logaritmada çarpıma; üste çarpılan, logaritmada toplama karşılık gelir.

\[\log_b(xy) = \log_b x + \log_b y \qquad \log_b\!\left(\tfrac{x}{y}\right) = \log_b x - \log_b y\] \[\log_b(x^n) = n \log_b x \qquad \log_b 1 = 0 \qquad \log_b b = 1\]

En işe yarayan özellik

Logaritma çarpımı toplamaya, kuvveti çarpmaya çevirir: \[\log(xy) = \log x + \log y \qquad \log(x^n) = n\log x\] Bu, devasa çarpımları ve kuvvetleri sıradan toplama/çarpmaya indirger — ML’de olabilirlik hesabının ve sayısal kararlılığın anahtarı.

İki tuzak

Toplama kuralı çarpım içindir, toplam için değil: $\log(x+y) \neq \log x + \log y$.
Logaritma yalnızca pozitif sayılar için tanımlıdır: $\log 0$ ve negatif sayının logaritması yoktur.

10.5 Örnekler

Örnek 1. $\log_2 16 = 4$, çünkü $2^4 = 16$.

Örnek 2. $\log_{10} 1000 = 3$, çünkü $10^3 = 1000$.

Örnek 3 (ürün kuralı). $\log_2(4 \cdot 8) = \log_2 4 + \log_2 8 = 2 + 3 = 5$ (kontrol: $4 \cdot 8 = 32 = 2^5$). ✓

Örnek 4 (kuvvet kuralı). $\log_2(8^2) = 2\log_2 8 = 2 \cdot 3 = 6$ (kontrol: $8^2 = 64 = 2^6$). ✓

ML köprüsü

Bir modelin olabilirliği (likelihood), yüzlerce olasılığın çarpımıdır — her biri 1’den küçük olduğu için bu çarpım sayısal olarak sıfıra çöker (underflow). Logaritma alınca çarpım toplama dönüşür: \[\log(p_1 p_2 \cdots p_n) = \log p_1 + \log p_2 + \cdots + \log p_n\] İşte bu yüzden ML modelleri log-olabilirliği (log-likelihood) maksimize eder, çapraz entropi / log-loss kaybı $-\log(p)$ kullanır. Bu dersteki ürün ve kuvvet kuralları, o kaybın cebirsel temelidir.

10.6 Alıştırmalar

$\log_2 16$
$\log_{10} 100$
$\log_7 1$
$\log_5 5$
Ürün kuralıyla: $\log_2(8 \cdot 2)$
Kuvvet kuralıyla: $\log_3(9^2)$

Çözümler (önce kendin dene, sonra aç)

$4$ (çünkü $2^4 = 16$)
$2$ (çünkü $10^2 = 100$)
$0$ (her tabanın 0. kuvveti 1’dir)
$1$ (her tabanın 1. kuvveti kendisidir)
$\log_2 8 + \log_2 2 = 3 + 1 = 4$ (kontrol: $16 = 2^4$)
$2\log_3 9 = 2 \cdot 2 = 4$ (kontrol: $81 = 3^4$)

Bölüm 1 — Cebir tamamlandı. Sonraki bölüm: Fonksiyonlar.

--- title: "Logaritma" subtitle: "Üssün tersi — çarpımı toplama çeviren işlem" --- Logaritma, üs almanın **tersidir**. Üs "bu tabanı şu kadar kez çarparsam ne olur?" diye sorar; logaritma ters yönden sorar: **"bu sayıyı elde etmek için tabanı kaçıncı kuvvete yükseltmeliyim?"** Bu ters bakış, makine öğrenmesinin en kritik araçlarından biridir (log-loss, olabilirlik). ## Logaritma nedir? Tanım iki yönde okunur: $$\log_b(x) = y \quad\Longleftrightarrow\quad b^y = x$$ Örneğin $\log_2(8) = 3$, çünkü $2^3 = 8$. Yani $\log_2 8$ sorusu aslında "2'yi kaçıncı kuvvete yükseltirsem 8 olur?" demektir. Üs tablosundan okumak en kolayı: | Üs ifadesi | Logaritma ifadesi | |:---:|:---:| | $2^3 = 8$ | $\log_2 8 = 3$ | | $10^2 = 100$ | $\log_{10} 100 = 2$ | | $5^0 = 1$ | $\log_5 1 = 0$ | | $3^1 = 3$ | $\log_3 3 = 1$ | ## Üs ve logaritma: ayna görüntüsü İkisi birbirinin tersi olduğu için grafikleri $y = x$ doğrusuna göre **simetriktir** — biri diğerinin aynadaki yansımasıdır: ```{python} #| label: fig-us-log #| fig-cap: "Üs ve logaritma birbirinin tersidir: $y = 2^x$ ile $y = \\log_2 x$, $y = x$ doğrusuna göre simetriktir." #| echo: false import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt fig, ax = plt.subplots(figsize=(5.4, 5.4)) x1 = np.linspace(-3, 3, 400) ax.plot(x1, 2**x1, color="#15803D", linewidth=2, label="$y = 2^x$ (üs)") x2 = np.linspace(0.06, 8, 400) ax.plot(x2, np.log2(x2), color="#2563EB", linewidth=2, label="$y = \\log_2 x$ (log)") d = np.linspace(-3, 8, 10) ax.plot(d, d, "--", color="#9ca3af", linewidth=1, label="$y = x$") ax.axhline(0, color="#d1d5db", linewidth=0.8) ax.axvline(0, color="#d1d5db", linewidth=0.8) ax.set_xlim(-3, 8) ax.set_ylim(-3, 8) ax.set_aspect("equal") ax.legend(fontsize=11, loc="lower right") ax.set_xticks([]); ax.set_yticks([]) for s in ax.spines.values(): s.set_visible(False) plt.tight_layout() plt.show() ``` ## Yaygın tabanlar - **Taban 10** — $\log_{10}$, çoğu yerde sadece $\log$ yazılır. - **Taban $e$** — $\log_e$ yerine $\ln$ yazılır (doğal logaritma). $e \approx 2{,}718$. Kalkülüs ve ML'de en sık bu kullanılır. - **Taban 2** — $\log_2$, bilgisayar bilimi ve bilgi teorisinde. ## Logaritma kuralları Üssün tersi olduğu için kurallar da üs kurallarının aynası: üste **toplanan** şey, logaritmada **çarpıma**; üste çarpılan, logaritmada **toplama** karşılık gelir. $$\log_b(xy) = \log_b x + \log_b y \qquad \log_b\!\left(\tfrac{x}{y}\right) = \log_b x - \log_b y$$ $$\log_b(x^n) = n \log_b x \qquad \log_b 1 = 0 \qquad \log_b b = 1$$ ::: {.callout-important title="En işe yarayan özellik"} Logaritma **çarpımı toplamaya, kuvveti çarpmaya** çevirir: $$\log(xy) = \log x + \log y \qquad \log(x^n) = n\log x$$ Bu, devasa çarpımları ve kuvvetleri sıradan toplama/çarpmaya indirger — ML'de olabilirlik hesabının ve sayısal kararlılığın anahtarı. ::: ::: {.callout-warning title="İki tuzak"} - Toplama kuralı **çarpım** içindir, toplam için değil: $\log(x+y) \neq \log x + \log y$. - Logaritma yalnızca **pozitif** sayılar için tanımlıdır: $\log 0$ ve negatif sayının logaritması yoktur. ::: ## Örnekler **Örnek 1.** $\log_2 16 = 4$, çünkü $2^4 = 16$. **Örnek 2.** $\log_{10} 1000 = 3$, çünkü $10^3 = 1000$. **Örnek 3 (ürün kuralı).** $\log_2(4 \cdot 8) = \log_2 4 + \log_2 8 = 2 + 3 = 5$ (kontrol: $4 \cdot 8 = 32 = 2^5$). ✓ **Örnek 4 (kuvvet kuralı).** $\log_2(8^2) = 2\log_2 8 = 2 \cdot 3 = 6$ (kontrol: $8^2 = 64 = 2^6$). ✓ ::: {.callout-tip title="ML köprüsü"} Bir modelin olabilirliği (likelihood), yüzlerce olasılığın **çarpımıdır** — her biri 1'den küçük olduğu için bu çarpım sayısal olarak sıfıra çöker (underflow). Logaritma alınca çarpım **toplama** dönüşür: $$\log(p_1 p_2 \cdots p_n) = \log p_1 + \log p_2 + \cdots + \log p_n$$ İşte bu yüzden ML modelleri log-olabilirliği (log-likelihood) maksimize eder, çapraz entropi / log-loss kaybı $-\log(p)$ kullanır. Bu dersteki ürün ve kuvvet kuralları, o kaybın cebirsel temelidir. ::: ## Alıştırmalar 1. $\log_2 16$ 2. $\log_{10} 100$ 3. $\log_7 1$ 4. $\log_5 5$ 5. Ürün kuralıyla: $\log_2(8 \cdot 2)$ 6. Kuvvet kuralıyla: $\log_3(9^2)$ ::: {.callout-note collapse="true" title="Çözümler (önce kendin dene, sonra aç)"} 1. $4$ (çünkü $2^4 = 16$) 2. $2$ (çünkü $10^2 = 100$) 3. $0$ (her tabanın 0. kuvveti 1'dir) 4. $1$ (her tabanın 1. kuvveti kendisidir) 5. $\log_2 8 + \log_2 2 = 3 + 1 = 4$ (kontrol: $16 = 2^4$) 6. $2\log_3 9 = 2 \cdot 2 = 4$ (kontrol: $81 = 3^4$) ::: --- *Bölüm 1 — Cebir tamamlandı. Sonraki bölüm: Fonksiyonlar.*

Üs ifadesi	Logaritma ifadesi
\(2^3 = 8\)	\(\log_2 8 = 3\)
\(10^2 = 100\)	\(\log_{10} 100 = 2\)
\(5^0 = 1\)	\(\log_5 1 = 0\)
\(3^1 = 3\)	\(\log_3 3 = 1\)