9 Eşitsizlikler

Bir aralık çözmek — yön kuralı, sayı doğrusu, aralık notasyonu

Eşitsizlik, eşittir yerine bir karşılaştırmadır: bir taraf diğerinden küçük ya da büyüktür. Denklemden tek büyük farkı, çözümün tek bir sayı değil, bir aralık (sonsuz çözüm) olmasıdır.

9.1 Eşitsizlik nedir?

Dört sembol: $<$ (küçük), $>$ (büyük), $\le$ (küçük veya eşit), $\ge$ (büyük veya eşit). Örneğin $x > 3$, “3’ten büyük tüm sayılar” demektir — $3{,}1$, $4$, $100$… hepsi çözümdür.

9.2 Çözme: tek kritik fark

Eşitsizliği denklem gibi çözersin — terimleri taşı, böl. Tek ek kural şu:

Altın kural

Negatif bir sayıyla çarpar veya bölersen, eşitsizliğin yönü değişir. \[-2x < 6 \quad\xrightarrow{\;\div(-2)\;}\quad x > -3\] $<$ işareti $>$ oldu, çünkü $-2$’ye böldük. Toplama/çıkarmada ve pozitifle çarpma/bölmede yön sabit kalır; sadece negatifte döner.

Yön değişmeyen örnek (pozitifle bölme):

\[3x - 5 \le 7 \;\Rightarrow\; 3x \le 12 \;\Rightarrow\; x \le 4\]

9.3 Çözümü gösterme — sayı doğrusu

Bir eşitsizliğin çözümünü sayı doğrusunda taranmış bir aralık olarak gösteririz. Uç noktanın dahil olup olmadığını dairenin türü söyler:

Şekil 9.1: $-3 < x \le 5$ çözümü: $-3$’te açık uç (dahil değil), $5$’te kapalı uç (dahil), arası taralı.

İki kural: ○ açık uç = sınır dahil değil ($<,>$ için), ● kapalı uç = sınır dahil ($\le,\ge$ için).

9.4 Aralık notasyonu

Çözümü kısa yazmanın yolu. Parantez ( dahil değil, köşeli parantez [ dahil:

\[x > -3 \;\to\; (-3,\ \infty) \qquad\qquad -3 < x \le 5 \;\to\; (-3,\ 5]\]

Sonsuz ($\infty$) her zaman parantez alır, asla köşeli — sonsuza “ulaşamadığın” için.

9.5 Bileşik eşitsizlik

$x$ iki değer arasındaysa, her parçaya aynı işlemi yaparak çözersin:

\[-1 < 2x + 1 \le 7 \;\xrightarrow{\;-1\;}\; -2 < 2x \le 6 \;\xrightarrow{\;\div 2\;}\; -1 < x \le 3\]

İki tuzak

Negatifle çarp/böldüğünde yön çevirmeyi unutmak — en sık kaçırılan kural.
Sonsuza köşeli parantez koymak — yanlış; $\infty$ ve $-\infty$ her zaman parantez alır.

9.6 Örnekler

Örnek 1. $2x + 3 > 11 \Rightarrow 2x > 8 \Rightarrow x > 4$, yani $(4,\ \infty)$

Örnek 2 (yön döner). $-3x \le 9 \;\xrightarrow{\div(-3)}\; x \ge -3$, yani $[-3,\ \infty)$

Örnek 3 (yön döner). $5 - 2x < 1 \Rightarrow -2x < -4 \;\xrightarrow{\div(-2)}\; x > 2$, yani $(2,\ \infty)$

ML köprüsü

Eşitsizlik makine öğrenmesinde her yerde. Olasılık $0 \le p \le 1$ aralığındadır. En yaygın aktivasyon ReLU, $\max(0, x)$ yani “$x > 0$ ise $x$, değilse $0$” — bir eşitsizlik kararı. Karar eşikleri ($\text{skor} > 0{,}5$ ise sınıf 1), optimizasyon kısıtları ve gradyan kırpma (gradient clipping) hep eşitsizliktir.

9.7 Alıştırmalar

Çöz ve aralık notasyonuyla yaz:

$2x + 3 > 11$
$-3x \le 9$ (dikkat — yön!)
$5 - 2x < 1$ (dikkat — yön!)
$x \ge 2$ (sadece aralık notasyonu)
$-1 < x + 3 \le 4$ (bileşik)
$\dfrac{x}{2} \ge 3$

Çözümler (önce kendin dene, sonra aç)

$2x > 8 \Rightarrow x > 4 \Rightarrow (4,\ \infty)$
$\div(-3)$, yön döner: $x \ge -3 \Rightarrow [-3,\ \infty)$
$-2x < -4$, $\div(-2)$ yön döner: $x > 2 \Rightarrow (2,\ \infty)$
$[2,\ \infty)$
Her parçadan 3 çıkar: $-4 < x \le 1 \Rightarrow (-4,\ 1]$
$x \ge 6 \Rightarrow [6,\ \infty)$

Sonraki ders: Logaritma.

--- title: "Eşitsizlikler" subtitle: "Bir aralık çözmek — yön kuralı, sayı doğrusu, aralık notasyonu" --- Eşitsizlik, eşittir yerine bir **karşılaştırmadır**: bir taraf diğerinden küçük ya da büyüktür. Denklemden tek büyük farkı, çözümün tek bir sayı değil, bir **aralık** (sonsuz çözüm) olmasıdır. ## Eşitsizlik nedir? Dört sembol: $<$ (küçük), $>$ (büyük), $\le$ (küçük veya eşit), $\ge$ (büyük veya eşit). Örneğin $x > 3$, "3'ten büyük tüm sayılar" demektir — $3{,}1$, $4$, $100$... hepsi çözümdür. ## Çözme: tek kritik fark Eşitsizliği denklem gibi çözersin — terimleri taşı, böl. Tek ek kural şu: ::: {.callout-important title="Altın kural"} **Negatif bir sayıyla çarpar veya bölersen, eşitsizliğin yönü değişir.** $$-2x < 6 \quad\xrightarrow{\;\div(-2)\;}\quad x > -3$$ $<$ işareti $>$ oldu, çünkü $-2$'ye böldük. Toplama/çıkarmada ve **pozitif**le çarpma/bölmede yön sabit kalır; sadece **negatif**te döner. ::: Yön değişmeyen örnek (pozitifle bölme): $$3x - 5 \le 7 \;\Rightarrow\; 3x \le 12 \;\Rightarrow\; x \le 4$$ ## Çözümü gösterme — sayı doğrusu Bir eşitsizliğin çözümünü sayı doğrusunda taranmış bir aralık olarak gösteririz. Uç noktanın dahil olup olmadığını dairenin türü söyler: ```{python} #| label: fig-sayidogrusu #| fig-cap: "$-3 < x \\le 5$ çözümü: $-3$'te açık uç (dahil değil), $5$'te kapalı uç (dahil), arası taralı." #| echo: false import matplotlib.pyplot as plt fig, ax = plt.subplots(figsize=(8, 1.8)) ax.axhline(0, color="#6b7280", linewidth=1.2, zorder=1) for t in range(-6, 9): ax.plot([t, t], [-0.12, 0.12], color="#9ca3af", linewidth=0.8, zorder=1) for t in [-3, 0, 5]: ax.text(t, -0.5, str(t), ha="center", va="top", fontsize=13) # çözüm aralığı -3 .. 5 ax.plot([-3, 5], [0, 0], color="#15803D", linewidth=5, solid_capstyle="butt", zorder=2) # açık uç (dahil değil) ax.plot(-3, 0, "o", markersize=13, markerfacecolor="white", markeredgecolor="#15803D", markeredgewidth=2.5, zorder=4) # kapalı uç (dahil) ax.plot(5, 0, "o", markersize=13, markerfacecolor="#15803D", markeredgecolor="#15803D", zorder=4) # eksen ok uçları ax.plot(8.8, 0, ">", color="#6b7280", markersize=8, zorder=1) ax.plot(-6.8, 0, "<", color="#6b7280", markersize=8, zorder=1) ax.set_xlim(-7.2, 9.4) ax.set_ylim(-0.85, 0.7) ax.axis("off") plt.tight_layout() plt.show() ``` İki kural: **○ açık uç** = sınır dahil değil ($<,>$ için), **● kapalı uç** = sınır dahil ($\le,\ge$ için). ## Aralık notasyonu Çözümü kısa yazmanın yolu. Parantez `(` dahil değil, köşeli parantez `[` dahil: $$x > -3 \;\to\; (-3,\ \infty) \qquad\qquad -3 < x \le 5 \;\to\; (-3,\ 5]$$ Sonsuz ($\infty$) **her zaman parantez** alır, asla köşeli — sonsuza "ulaşamadığın" için. ## Bileşik eşitsizlik $x$ iki değer arasındaysa, **her parçaya** aynı işlemi yaparak çözersin: $$-1 < 2x + 1 \le 7 \;\xrightarrow{\;-1\;}\; -2 < 2x \le 6 \;\xrightarrow{\;\div 2\;}\; -1 < x \le 3$$ ::: {.callout-warning title="İki tuzak"} - Negatifle çarp/böldüğünde yön çevirmeyi unutmak — en sık kaçırılan kural. - Sonsuza köşeli parantez koymak — yanlış; $\infty$ ve $-\infty$ her zaman parantez alır. ::: ## Örnekler **Örnek 1.** $2x + 3 > 11 \Rightarrow 2x > 8 \Rightarrow x > 4$, yani $(4,\ \infty)$ **Örnek 2 (yön döner).** $-3x \le 9 \;\xrightarrow{\div(-3)}\; x \ge -3$, yani $[-3,\ \infty)$ **Örnek 3 (yön döner).** $5 - 2x < 1 \Rightarrow -2x < -4 \;\xrightarrow{\div(-2)}\; x > 2$, yani $(2,\ \infty)$ ::: {.callout-tip title="ML köprüsü"} Eşitsizlik makine öğrenmesinde her yerde. Olasılık $0 \le p \le 1$ aralığındadır. En yaygın aktivasyon ReLU, $\max(0, x)$ yani "$x > 0$ ise $x$, değilse $0$" — bir eşitsizlik kararı. Karar eşikleri ($\text{skor} > 0{,}5$ ise sınıf 1), optimizasyon kısıtları ve gradyan kırpma (gradient clipping) hep eşitsizliktir. ::: ## Alıştırmalar Çöz ve aralık notasyonuyla yaz: 1. $2x + 3 > 11$ 2. $-3x \le 9$ (dikkat — yön!) 3. $5 - 2x < 1$ (dikkat — yön!) 4. $x \ge 2$ (sadece aralık notasyonu) 5. $-1 < x + 3 \le 4$ (bileşik) 6. $\dfrac{x}{2} \ge 3$ ::: {.callout-note collapse="true" title="Çözümler (önce kendin dene, sonra aç)"} 1. $2x > 8 \Rightarrow x > 4 \Rightarrow (4,\ \infty)$ 2. $\div(-3)$, yön döner: $x \ge -3 \Rightarrow [-3,\ \infty)$ 3. $-2x < -4$, $\div(-2)$ yön döner: $x > 2 \Rightarrow (2,\ \infty)$ 4. $[2,\ \infty)$ 5. Her parçadan 3 çıkar: $-4 < x \le 1 \Rightarrow (-4,\ 1]$ 6. $x \ge 6 \Rightarrow [6,\ \infty)$ ::: --- *Sonraki ders: Logaritma.*