8 İkinci Derece Denklemler

İki çözüm yolu — çarpanlara ayırma, formül ve diskriminant

İkinci derece denklem, bilinmeyenin en yüksek kuvvetinin 2 olduğu denklemdir. Çözmenin iki yolu var: ifade güzelce çarpanlara ayrılıyorsa hızlı yol, ayrılmıyorsa her zaman çalışan formül. İkisi de aynı kökleri verir.

8.1 İkinci derece denklem nedir?

\[ax^2 + bx + c = 0 \qquad (a \neq 0)\]

$a$, $b$, $c$ katsayılardır; $a$ sıfır olamaz (olsa denklem doğrusal olurdu).

8.2 Yol 1 — Çarpanlara ayırma

Bir önceki derslerin doğrudan uygulaması. Dayandığı kural: bir çarpım sıfırsa, çarpanlardan en az biri sıfırdır.

\[A \cdot B = 0 \quad\Rightarrow\quad A = 0 \ \text{ veya } \ B = 0\]

Önce çarpanlara ayır, sonra her çarpanı sıfıra eşitle:

\[x^2 - x - 6 = 0 \;\Rightarrow\; (x-3)(x+2) = 0 \;\Rightarrow\; x = 3 \ \text{ veya } \ x = -2\]

8.3 Yol 2 — Formül

İfade çarpanlara ayrılmasa bile çalışır:

\[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

Aynı denklem ($a=1,\ b=-1,\ c=-6$):

\[x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(1)(-6)}}{2(1)} = \frac{1 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{1 \pm 5}{2} \;\Rightarrow\; x = 3 \ \text{ veya } \ x = -2\]

Aynı sonuç — iki yol da doğru.

8.4 Diskriminant: kaç kök var?

Formüldeki kök içindeki ifadeye diskriminant denir:

\[\Delta = b^2 - 4ac\]

İşareti, denklemin kaç reel kökü olduğunu söyler:

$\Delta > 0$ → iki farklı reel kök
$\Delta = 0$ → tek (çift) kök
$\Delta < 0$ → reel kök yok (kökler karmaşık)

8.5 Geometrik anlam: parabolün kökleri

Kökler aslında $y = ax^2 + bx + c$ parabolünün x eksenini kestiği noktalardır. Diskriminant da bu kesişimin kaç kez olduğunu söyler:

Şekil 8.1: Diskriminant ve parabol: $\Delta>0$ iki kesişim (iki kök), $\Delta=0$ teğet (tek kök), $\Delta<0$ kesişim yok (reel kök yok).

Üç parabol de aynı $y = x^2 + c$ ailesinden, sadece yukarı/aşağı kaymış: dibi eksenin altındaysa iki kez keser, tam değiyorsa bir kez, üstündeyse hiç kesmez.

Hangi yolu, ne zaman?

Çarpanlara kolay ayrılıyorsa o hızlıdır; ayrılmıyorsa formül her zaman çalışır; sadece kaç kök olduğunu merak ediyorsan diskriminanta bakman yeter. Her durumda önce denklemi $=0$ formuna getir — $x^2 = 5x - 6$ ise önce $x^2 - 5x + 6 = 0$ yaz.

Formülde işaret tuzağı

$-b$: $b$ negatifse $-b$ pozitif olur. $b=-4$ ise $-b = +4$.
$b^2$: negatif olamaz ($b=0$’da sıfır, yani $\ge 0$), $b$ negatif olsa bile. Diskriminantta ve formülde en çok hata bu iki noktada yapılır.

8.6 Örnekler

Örnek 1 (çarpanlara ayırma). $x^2 + 7x + 12 = 0 \Rightarrow (x+3)(x+4) = 0 \Rightarrow x = -3 \ \text{veya}\ -4$

Örnek 2 (formül). $x^2 - 4x + 3 = 0$: $\Delta = 16 - 12 = 4$, $x = \dfrac{4 \pm 2}{2} \Rightarrow x = 3 \ \text{veya}\ 1$

Örnek 3 (diskriminant). $x^2 + 2x + 5 = 0$: $\Delta = 4 - 20 = -16 < 0 \Rightarrow$ reel kök yok.

ML köprüsü

Tek parametreli kare hata kaybı bir paraboldür; en iyi parametre, bu parabolün en alçak noktasıdır (tepe noktası). Gradyan inişi aslında o dibi arar. İkinci derecenin geometrisi — parabol, kökler, tepe noktası — optimizasyonun görsel temelidir. “Türevi sıfıra eşitle ve çöz” fikri de buradaki “sıfıra eşitle ve çöz” ile aynı.

8.7 Alıştırmalar

Çarpanlara ayırarak çöz: $x^2 + 5x + 6 = 0$
Çarpanlara ayırarak çöz: $x^2 - x - 6 = 0$
Formülle çöz: $x^2 - 4x + 3 = 0$
Formülle çöz: $x^2 + 6x + 9 = 0$
Kaç reel kök (sadece diskriminant): $2x^2 + 3x + 5 = 0$
Kaç reel kök (sadece diskriminant): $x^2 - 6x + 9 = 0$

Çözümler (önce kendin dene, sonra aç)

$(x+2)(x+3) = 0 \Rightarrow x = -2 \ \text{veya}\ -3$
$(x-3)(x+2) = 0 \Rightarrow x = 3 \ \text{veya}\ -2$
$\Delta = 4,\ x = \dfrac{4 \pm 2}{2} \Rightarrow x = 3 \ \text{veya}\ 1$
$\Delta = 36 - 36 = 0,\ x = \dfrac{-6}{2} = -3$ (çift kök; $(x+3)^2 = 0$)
$\Delta = 9 - 40 = -31 < 0 \Rightarrow$ reel kök yok
$\Delta = 36 - 36 = 0 \Rightarrow$ tek (çift) kök, $x = 3$

Sonraki ders: Eşitsizlikler.

--- title: "İkinci Derece Denklemler" subtitle: "İki çözüm yolu — çarpanlara ayırma, formül ve diskriminant" --- İkinci derece denklem, bilinmeyenin en yüksek kuvvetinin 2 olduğu denklemdir. Çözmenin iki yolu var: ifade güzelce çarpanlara ayrılıyorsa hızlı yol, ayrılmıyorsa her zaman çalışan formül. İkisi de aynı kökleri verir. ## İkinci derece denklem nedir? $$ax^2 + bx + c = 0 \qquad (a \neq 0)$$ $a$, $b$, $c$ katsayılardır; $a$ sıfır olamaz (olsa denklem doğrusal olurdu). ## Yol 1 — Çarpanlara ayırma Bir önceki derslerin doğrudan uygulaması. Dayandığı kural: **bir çarpım sıfırsa, çarpanlardan en az biri sıfırdır.** $$A \cdot B = 0 \quad\Rightarrow\quad A = 0 \ \text{ veya } \ B = 0$$ Önce çarpanlara ayır, sonra her çarpanı sıfıra eşitle: $$x^2 - x - 6 = 0 \;\Rightarrow\; (x-3)(x+2) = 0 \;\Rightarrow\; x = 3 \ \text{ veya } \ x = -2$$ ## Yol 2 — Formül İfade çarpanlara ayrılmasa bile çalışır: $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$ Aynı denklem ($a=1,\ b=-1,\ c=-6$): $$x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(1)(-6)}}{2(1)} = \frac{1 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{1 \pm 5}{2} \;\Rightarrow\; x = 3 \ \text{ veya } \ x = -2$$ Aynı sonuç — iki yol da doğru. ## Diskriminant: kaç kök var? Formüldeki kök içindeki ifadeye **diskriminant** denir: $$\Delta = b^2 - 4ac$$ İşareti, denklemin kaç reel kökü olduğunu söyler: - $\Delta > 0$ → iki farklı reel kök - $\Delta = 0$ → tek (çift) kök - $\Delta < 0$ → reel kök yok (kökler karmaşık) ## Geometrik anlam: parabolün kökleri Kökler aslında $y = ax^2 + bx + c$ parabolünün **x eksenini kestiği noktalardır**. Diskriminant da bu kesişimin kaç kez olduğunu söyler: ```{python} #| label: fig-diskriminant #| fig-cap: "Diskriminant ve parabol: $\\Delta>0$ iki kesişim (iki kök), $\\Delta=0$ teğet (tek kök), $\\Delta<0$ kesişim yok (reel kök yok)." #| echo: false import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt x = np.linspace(-2.5, 2.5, 400) cases = [ (-1, "$\\Delta > 0$ — iki kök", [-1, 1]), (0, "$\\Delta = 0$ — tek kök", [0]), (1, "$\\Delta < 0$ — kök yok", []), ] fig, axes = plt.subplots(1, 3, figsize=(9, 3.2), sharey=True) for ax, (c, title, roots) in zip(axes, cases): ax.plot(x, x**2 + c, color="#15803D", linewidth=2) ax.axhline(0, color="#6b7280", linewidth=1) ax.axvline(0, color="#e5e7eb", linewidth=0.8) for r in roots: ax.plot(r, 0, "o", color="#D97706", markersize=8, zorder=5) ax.set_title(title, fontsize=12) ax.set_xlim(-2.5, 2.5) ax.set_ylim(-1.5, 4) ax.set_xticks([]); ax.set_yticks([]) for s in ax.spines.values(): s.set_visible(False) plt.tight_layout() plt.show() ``` Üç parabol de aynı $y = x^2 + c$ ailesinden, sadece yukarı/aşağı kaymış: dibi eksenin altındaysa iki kez keser, tam değiyorsa bir kez, üstündeyse hiç kesmez. ::: {.callout-important title="Hangi yolu, ne zaman?"} Çarpanlara kolay ayrılıyorsa o hızlıdır; ayrılmıyorsa formül her zaman çalışır; sadece kaç kök olduğunu merak ediyorsan diskriminanta bakman yeter. **Her durumda önce denklemi $=0$ formuna getir** — $x^2 = 5x - 6$ ise önce $x^2 - 5x + 6 = 0$ yaz. ::: ::: {.callout-warning title="Formülde işaret tuzağı"} - $-b$: $b$ negatifse $-b$ **pozitif** olur. $b=-4$ ise $-b = +4$. - $b^2$: negatif olamaz ($b=0$'da sıfır, yani $\ge 0$), $b$ negatif olsa bile. Diskriminantta ve formülde en çok hata bu iki noktada yapılır. ::: ## Örnekler **Örnek 1 (çarpanlara ayırma).** $x^2 + 7x + 12 = 0 \Rightarrow (x+3)(x+4) = 0 \Rightarrow x = -3 \ \text{veya}\ -4$ **Örnek 2 (formül).** $x^2 - 4x + 3 = 0$: $\Delta = 16 - 12 = 4$, $x = \dfrac{4 \pm 2}{2} \Rightarrow x = 3 \ \text{veya}\ 1$ **Örnek 3 (diskriminant).** $x^2 + 2x + 5 = 0$: $\Delta = 4 - 20 = -16 < 0 \Rightarrow$ reel kök yok. ::: {.callout-tip title="ML köprüsü"} Tek parametreli kare hata kaybı bir **paraboldür**; en iyi parametre, bu parabolün en alçak noktasıdır (tepe noktası). Gradyan inişi aslında o dibi arar. İkinci derecenin geometrisi — parabol, kökler, tepe noktası — optimizasyonun görsel temelidir. "Türevi sıfıra eşitle ve çöz" fikri de buradaki "sıfıra eşitle ve çöz" ile aynı. ::: ## Alıştırmalar 1. Çarpanlara ayırarak çöz: $x^2 + 5x + 6 = 0$ 2. Çarpanlara ayırarak çöz: $x^2 - x - 6 = 0$ 3. Formülle çöz: $x^2 - 4x + 3 = 0$ 4. Formülle çöz: $x^2 + 6x + 9 = 0$ 5. Kaç reel kök (sadece diskriminant): $2x^2 + 3x + 5 = 0$ 6. Kaç reel kök (sadece diskriminant): $x^2 - 6x + 9 = 0$ ::: {.callout-note collapse="true" title="Çözümler (önce kendin dene, sonra aç)"} 1. $(x+2)(x+3) = 0 \Rightarrow x = -2 \ \text{veya}\ -3$ 2. $(x-3)(x+2) = 0 \Rightarrow x = 3 \ \text{veya}\ -2$ 3. $\Delta = 4,\ x = \dfrac{4 \pm 2}{2} \Rightarrow x = 3 \ \text{veya}\ 1$ 4. $\Delta = 36 - 36 = 0,\ x = \dfrac{-6}{2} = -3$ (çift kök; $(x+3)^2 = 0$) 5. $\Delta = 9 - 40 = -31 < 0 \Rightarrow$ reel kök yok 6. $\Delta = 36 - 36 = 0 \Rightarrow$ tek (çift) kök, $x = 3$ ::: --- *Sonraki ders: Eşitsizlikler.*