21  Faktöriyel ve Sayma

Kaç farklı yol? — olasılığa açılan kapı

Sayma, “kaç farklı yol var?” sorusunun matematiğidir. Faktöriyel, permütasyon ve kombinasyon, bu sorunun üç temel aracıdır. Aynı zamanda olasılık sütununun kapısıdır: bir olayın olasılığını hesaplamak çoğu zaman “kaç farklı sonuç var?” diye saymakla başlar.

21.1 Faktöriyel: \(n!\)

Faktöriyel, \(n\)’den \(1\)’e kadar olan sayıların çarpımıdır:

\[n! = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdots 2 \cdot 1\]

Örneğin \(4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24\). Tanım gereği \(0! = 1\)’dir. Faktöriyel, \(n\) farklı nesnenin kaç farklı sıralanışı olduğunu sayar — örneğin 4 kişi bir sıraya \(4! = 24\) farklı şekilde dizilebilir.

21.2 Sayma temel ilkesi

Bir seçimin \(m\), bağımsız bir başka seçimin \(n\) seçeneği varsa, ikisi birlikte \(m \times n\) farklı yol verir. Örneğin 3 farklı gömlek ve 2 farklı pantolonla \(3 \times 2 = 6\) farklı kombin kurulur. Permütasyon ve kombinasyon bu ilkenin üstüne kurulur.

21.3 Permütasyon: sıra önemli

\(n\) nesneden \(r\) tanesini sıralı seçmenin (dizmenin) yol sayısı:

\[P(n, r) = \frac{n!}{(n-r)!}\]

Örnek: 5 kişiden 3’ünü sıraya dizmek → \(P(5,3) = \dfrac{5!}{2!} = \dfrac{120}{2} = 60\).

21.4 Kombinasyon: sıra önemsiz

\(n\) nesneden \(r\) tanesini, sırası önemsiz biçimde seçmenin yol sayısı:

\[C(n, r) = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!\,(n-r)!}\]

Örnek: 5 kişiden 3’ünü (sıra fark etmeksizin) seçmek → \(C(5,3) = \dfrac{5!}{3!\,2!} = \dfrac{120}{6 \cdot 2} = 10\).

Şekil 21.1: {A, B, C} kümesinden 2 seçmek: permütasyonda sıra önemli (6 sonuç), kombinasyonda sıra önemsiz (3 sonuç). AB ile BA permütasyonda ayrı, kombinasyonda aynıdır.

Kombinasyon, permütasyonun sıra-varyantlarını tek bir seçim olarak sayar; bu yüzden \(C(n,r) = \dfrac{P(n,r)}{r!}\) — sıralanışları \(r!\)’e bölerek elersin.

ÖnemliTek soru: sıra önemli mi?

Saymada sorulacak tek soru şudur: sıra önemli mi?

  • Önemli (dizmek, sıralamak) → permütasyon.
  • Önemsiz (seçmek, grup oluşturmak) → kombinasyon.

Kombinasyon = permütasyon ÷ \(r!\) (fazladan sayılan sıralanışları böl).

Uyarıİki tuzak
  • \(0! = 1\)’dir, \(0\) değil — bu, formüllerin kenar durumlarında kritik.
  • Faktöriyel çok hızlı büyür (\(10! = 3{.}628{.}800\)); büyük permütasyonları kaba kuvvetle tek tek üretmek pratikte imkânsızdır (kombinatoryal patlama). Bu, neden akıllı algoritmalara ihtiyaç duyduğumuzun bir sebebidir.

21.5 Örnek

Örnek 1. \(5! = 120\).

Örnek 2 (permütasyon). 6 kitaptan 2’sini rafa sıralı dizmek: \(P(6,2) = \dfrac{6!}{4!} = 6 \cdot 5 = 30\).

Örnek 3 (kombinasyon). 6 kişiden 2 kişilik bir komite seçmek: \(C(6,2) = \dfrac{6!}{2!\,4!} = \dfrac{6 \cdot 5}{2} = 15\).

İpucuML köprüsü

Sayma, olasılığın temelidir — bir sonraki büyük sütun:

  • Kombinasyon \(\binom{n}{r}\), binom katsayısıdır ve doğrudan binom dağılımına girer (\(n\) denemede \(r\) başarı olasılığı). İstatistiğin temel taşlarından biri.
  • Ayrık olasılıkta bir olayın olasılığı çoğu zaman \(\dfrac{\text{uygun sonuç sayısı}}{\text{toplam sonuç sayısı}}\)’dır — pay ve payda birer sayma problemidir.

Bu yüzden saymayı sağlam oturtmak, olasılık ve istatistiğe geçişi kolaylaştırır.

21.6 Alıştırmalar

  1. \(4! = ?\)
  2. \(0! = ?\)
  3. \(\dfrac{6!}{4!} = ?\)
  4. \(P(5, 2) = ?\) (5 nesneden 2’sini sıralı)
  5. \(C(5, 2) = ?\) (5 nesneden 2’sini seç)
  6. \(C(4, 2) = ?\)
  1. \(4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24\)
  2. \(1\) (tanım gereği)
  3. \(\dfrac{6!}{4!} = \dfrac{6 \cdot 5 \cdot 4!}{4!} = 6 \cdot 5 = 30\)
  4. \(P(5,2) = \dfrac{5!}{3!} = 5 \cdot 4 = 20\)
  5. \(C(5,2) = \dfrac{5!}{2!\,3!} = \dfrac{5 \cdot 4}{2} = 10\)
  6. \(C(4,2) = \dfrac{4!}{2!\,2!} = \dfrac{4 \cdot 3}{2} = 6\)

Bölüm 3 — Toplam, Diziler ve Sayma tamamlandı. Sonraki bölüm: Vektörler.