20 Seriler

Bir dizinin toplamı — kapalı formüller ve yakınsama

Dizi sıralı bir sayı listesiydi; seri ise o listenin toplamıdır. Bir seriyi terim terim toplamak yerine kapalı bir formülle anında hesaplayabiliriz — ve bazı sonsuz toplamlar şaşırtıcı biçimde sonlu bir değere yakınsar. Bu yakınsama fikri, ileride kalkülüsteki limitin tohumudur.

20.1 Seri nedir?

Bir dizinin ilk $n$ teriminin toplamına kısmi toplam denir:

\[S_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n = \sum_{i=1}^{n} a_i\]

Geçen dersteki Σ’nın somut hâli — ama şimdi onu hızlıca hesaplayan formülleri arıyoruz.

20.2 Aritmetik seri

Bir aritmetik dizinin toplamı, “terim sayısı çarpı ilk ve son terimin ortalaması”dır:

\[S_n = \frac{n}{2}\,(a_1 + a_n)\]

En tanıdık özel hâli $1$’den $n$’e kadar sayıların toplamıdır:

\[1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{n(n+1)}{2}\]

Bunun sezgisi şu eşleştirmedir: ilk ile son, ikinci ile sondan bir önceki… her çift aynı toplamı verir ($a_1 + a_n$), ve $\frac{n}{2}$ tane çift vardır.

20.3 Geometrik seri

Bir geometrik dizinin toplamı ($r \neq 1$ için):

\[S_n = a_1 \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1}\]

Eğer $|r| < 1$ ise, sonsuza kadar toplasan bile sonuç sonludur — seri yakınsar:

\[S_\infty = \frac{a_1}{1 - r} \quad (|r| < 1)\]

Şekil 20.1: Sonsuz geometrik seri 1/2 + 1/4 + 1/8 + … : kısmi toplamlar 1’e yakınsar (|r| < 1).

Her terim bir öncekinin yarısı kadar eklediği için toplam $1$’i asla geçmez; sonsuzda tam $1$’e oturur.

Tek hesapta toplam

Bir seri formülü, “$n$ terimi tek tek topla” işini tek bir hesaba indirger. Dahası, $|r| < 1$ olan geometrik seride sonsuz sayıda terimin toplamı bile sonlu çıkar — sonsuzluk her zaman sonsuz sonuç vermez.

Üç tuzak

Geometrik sonlu formül $r \neq 1$ ister (payda $r - 1$ sıfır olamaz).
Sonsuz toplam yalnızca $|r| < 1$ ise yakınsar; $|r| \ge 1$ ise terimler küçülmez ve toplam ıraksar (sonsuza gider).
Diziyi (terimler) seriyle (terimlerin toplamı) karıştırma.

20.4 Örnek

Örnek 1 (aritmetik). $1 + 2 + \dots + 10 = \dfrac{10 \cdot 11}{2} = 55$.

Örnek 2 (geometrik, sonlu). $2 + 6 + 18 + 54$ ($a_1 = 2$, $r = 3$, $n = 4$): $\; 2 \cdot \dfrac{3^4 - 1}{3 - 1} = 2 \cdot \dfrac{80}{2} = 80$.

Örnek 3 (geometrik, sonsuz). $\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{8} + \dots = \dfrac{1/2}{1 - 1/2} = 1$.

ML köprüsü

Karmaşıklık analizi: iç içe döngülerin adım sayısı çoğu zaman $1 + 2 + \dots + n = \dfrac{n(n+1)}{2}$ çıkar — bu da $O(n^2)$ demektir.
Pekiştirmeli öğrenme (RL): bir ajanın iskontolu getirisi $\sum_{t} \gamma^t r_t$ bir geometrik ağırlıklı seridir; iskonto çarpanı $\gamma < 1$ olduğu için ($|r| < 1$ koşulu) sonsuz ufuktaki toplam bile sonlu kalır.
Yakınsama: kısmi toplamların bir limite oturması, kalkülüsteki limit kavramının ta kendisidir — ve eğitimde kayıp/tahminlerin bir değere oturmasının da resmidir.

20.5 Alıştırmalar

$1 + 2 + 3 + \dots + 20 = ?$
Aritmetik seri: $a_1 = 2$, $a_n = 20$, $n = 10$ için $S_{10} = ?$
$5 + 10 + 15 + 20 + 25 = ?$ (formülle)
Geometrik seri: $2 + 6 + 18 + 54$ ($a_1 = 2$, $r = 3$, $n = 4$) toplamı?
Sonsuz geometrik: $\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{9} + \dfrac{1}{27} + \dots = ?$
Sonsuz geometrik: $1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{8} + \dots = ?$

Çözümler (önce kendin dene, sonra aç)

$\dfrac{20 \cdot 21}{2} = 210$
$\dfrac{10}{2}(2 + 20) = 5 \cdot 22 = 110$
$\dfrac{5}{2}(5 + 25) = 2{,}5 \cdot 30 = 75$
$2 \cdot \dfrac{3^4 - 1}{3 - 1} = 2 \cdot \dfrac{80}{2} = 80$
$a_1 = \tfrac{1}{3}$, $r = \tfrac{1}{3}$: $\dfrac{1/3}{1 - 1/3} = \dfrac{1/3}{2/3} = \dfrac{1}{2}$
$a_1 = 1$, $r = \tfrac{1}{2}$: $\dfrac{1}{1 - 1/2} = 2$

Sonraki ders: Faktöriyel ve Sayma.

--- title: "Seriler" subtitle: "Bir dizinin toplamı — kapalı formüller ve yakınsama" --- **Dizi** sıralı bir sayı listesiydi; **seri** ise o listenin **toplamıdır**. Bir seriyi terim terim toplamak yerine kapalı bir formülle anında hesaplayabiliriz — ve bazı sonsuz toplamlar şaşırtıcı biçimde sonlu bir değere yakınsar. Bu yakınsama fikri, ileride kalkülüsteki limitin tohumudur. ## Seri nedir? Bir dizinin ilk $n$ teriminin toplamına **kısmi toplam** denir: $$S_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n = \sum_{i=1}^{n} a_i$$ Geçen dersteki Σ'nın somut hâli — ama şimdi onu hızlıca hesaplayan formülleri arıyoruz. ## Aritmetik seri Bir aritmetik dizinin toplamı, "terim sayısı çarpı ilk ve son terimin ortalaması"dır: $$S_n = \frac{n}{2}\,(a_1 + a_n)$$ En tanıdık özel hâli $1$'den $n$'e kadar sayıların toplamıdır: $$1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{n(n+1)}{2}$$ Bunun sezgisi şu eşleştirmedir: ilk ile son, ikinci ile sondan bir önceki... her çift aynı toplamı verir ($a_1 + a_n$), ve $\frac{n}{2}$ tane çift vardır. ## Geometrik seri Bir geometrik dizinin toplamı ($r \neq 1$ için): $$S_n = a_1 \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1}$$ Eğer $|r| < 1$ ise, sonsuza kadar toplasan bile sonuç **sonludur** — seri yakınsar: $$S_\infty = \frac{a_1}{1 - r} \quad (|r| < 1)$$ ```{python} #| label: fig-geometrik-yakinsama #| fig-cap: "Sonsuz geometrik seri 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... : kısmi toplamlar 1'e yakınsar (|r| < 1)." #| echo: false import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt fig, ax = plt.subplots(figsize=(6.5, 4.5)) n = np.arange(1, 11) partial = 1 - 0.5**n # sum_{i=1}^n (1/2)^i ax.axhline(1, color="#DC2626", linestyle="--", linewidth=1.5, zorder=2) ax.annotate("limit $= 1$", (10, 1), textcoords="offset points", xytext=(-8, 7), ha="right", fontsize=11, color="#DC2626") ax.plot(n, partial, "-", color="#15803D", linewidth=1, alpha=0.4, zorder=2) ax.plot(n, partial, "o", color="#15803D", markersize=8, zorder=3) ax.set_xlim(0.5, 10.5) ax.set_ylim(0, 1.15) ax.set_xlabel("terim sayısı $n$"); ax.set_ylabel("kısmi toplam $S_n$") ax.grid(True, alpha=0.2) plt.tight_layout() plt.show() ``` Her terim bir öncekinin yarısı kadar eklediği için toplam $1$'i asla geçmez; sonsuzda tam $1$'e oturur. ::: {.callout-important title="Tek hesapta toplam"} Bir seri formülü, "$n$ terimi tek tek topla" işini **tek bir hesaba** indirger. Dahası, $|r| < 1$ olan geometrik seride sonsuz sayıda terimin toplamı bile sonlu çıkar — sonsuzluk her zaman sonsuz sonuç vermez. ::: ::: {.callout-warning title="Üç tuzak"} - Geometrik sonlu formül $r \neq 1$ ister (payda $r - 1$ sıfır olamaz). - Sonsuz toplam **yalnızca $|r| < 1$ ise** yakınsar; $|r| \ge 1$ ise terimler küçülmez ve toplam ıraksar (sonsuza gider). - Diziyi (terimler) seriyle (terimlerin toplamı) karıştırma. ::: ## Örnek **Örnek 1 (aritmetik).** $1 + 2 + \dots + 10 = \dfrac{10 \cdot 11}{2} = 55$. **Örnek 2 (geometrik, sonlu).** $2 + 6 + 18 + 54$ ($a_1 = 2$, $r = 3$, $n = 4$): $\; 2 \cdot \dfrac{3^4 - 1}{3 - 1} = 2 \cdot \dfrac{80}{2} = 80$. **Örnek 3 (geometrik, sonsuz).** $\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{8} + \dots = \dfrac{1/2}{1 - 1/2} = 1$. ::: {.callout-tip title="ML köprüsü"} - **Karmaşıklık analizi:** iç içe döngülerin adım sayısı çoğu zaman $1 + 2 + \dots + n = \dfrac{n(n+1)}{2}$ çıkar — bu da $O(n^2)$ demektir. - **Pekiştirmeli öğrenme (RL):** bir ajanın iskontolu getirisi $\sum_{t} \gamma^t r_t$ bir **geometrik ağırlıklı seridir**; iskonto çarpanı $\gamma < 1$ olduğu için ($|r| < 1$ koşulu) sonsuz ufuktaki toplam bile sonlu kalır. - **Yakınsama:** kısmi toplamların bir limite oturması, kalkülüsteki **limit** kavramının ta kendisidir — ve eğitimde kayıp/tahminlerin bir değere oturmasının da resmidir. ::: ## Alıştırmalar 1. $1 + 2 + 3 + \dots + 20 = ?$ 2. Aritmetik seri: $a_1 = 2$, $a_n = 20$, $n = 10$ için $S_{10} = ?$ 3. $5 + 10 + 15 + 20 + 25 = ?$ (formülle) 4. Geometrik seri: $2 + 6 + 18 + 54$ ($a_1 = 2$, $r = 3$, $n = 4$) toplamı? 5. Sonsuz geometrik: $\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{9} + \dfrac{1}{27} + \dots = ?$ 6. Sonsuz geometrik: $1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{8} + \dots = ?$ ::: {.callout-note collapse="true" title="Çözümler (önce kendin dene, sonra aç)"} 1. $\dfrac{20 \cdot 21}{2} = 210$ 2. $\dfrac{10}{2}(2 + 20) = 5 \cdot 22 = 110$ 3. $\dfrac{5}{2}(5 + 25) = 2{,}5 \cdot 30 = 75$ 4. $2 \cdot \dfrac{3^4 - 1}{3 - 1} = 2 \cdot \dfrac{80}{2} = 80$ 5. $a_1 = \tfrac{1}{3}$, $r = \tfrac{1}{3}$: $\dfrac{1/3}{1 - 1/3} = \dfrac{1/3}{2/3} = \dfrac{1}{2}$ 6. $a_1 = 1$, $r = \tfrac{1}{2}$: $\dfrac{1}{1 - 1/2} = 2$ ::: --- *Sonraki ders: Faktöriyel ve Sayma.*