6 Çarpanlara Ayırma

Dağıtmanın tersi — ortak çarpan ve üç terimli ifadeler

Çarpanlara ayırma, bir toplamı çarpıma çevirmektir — yani dağıtmanın (parantez açmanın) tersi. Bu beceri ikinci derece denklemleri çözmenin, ifadeleri sadeleştirmenin ve köklerini bulmanın temelidir.

6.1 Çarpanlara ayırma nedir?

Dağıtma çarpımı toplama açar; çarpanlara ayırma toplamı geri çarpıma toplar:

\[a(b+c) = ab + ac \qquad\Longleftrightarrow\qquad ab + ac = a(b+c)\]

Soldan sağa giderken (dağıtma) parantez açılır; sağdan sola giderken (çarpanlara ayırma) ortak parça dışarı alınır.

6.2 Ortak çarpan

İlk bakılacak şey: tüm terimlerde ortak olan en büyük parça var mı? Varsa dışarı al.

\[6x + 9 = 3(2x + 3) \qquad x^2 + x = x(x+1) \qquad 4x^2 + 6x = 2x(2x + 3)\]

Kontrol için her zaman geri dağıt: $3(2x+3) = 6x + 9$. ✓

6.3 Üç terimli ifade

$x^2 + bx + c$ biçimindeki ifadeyi çarpanlara ayırmanın mantığı, çarpımı açmaktan gelir:

\[(x + p)(x + q) = x^2 + (p+q)x + pq\]

Yani çarpımı $c$, toplamı $b$ olan iki sayıyı ($p$ ve $q$) ararız.

Örnek: $x^2 + 5x + 6$ için çarpımı 6, toplamı 5 olan iki sayı → $2$ ve $3$:

\[x^2 + 5x + 6 = (x+2)(x+3)\]

İşaretli örnek: $x^2 - x - 6$ için çarpımı $-6$, toplamı $-1$ → $-3$ ve $+2$:

\[x^2 - x - 6 = (x-3)(x+2)\]

6.3.1 İşaretleri hızlı bulma

$c$ işareti	$b$ işareti	Çarpanların işareti
$+$	$+$	ikisi de $+$
$+$	$-$	ikisi de $-$
$-$	herhangi	zıt işaretli (mutlak değeri büyük olan, $b$’nin işaretini alır)

Altın kural

Çarpanlara ayırma = dağıtmanın tersi. Sonucundan emin olmak için her zaman geri çarp: $(x-3)(x+2)$’yi açınca $x^2 - x - 6$ çıkıyorsa doğru ayırmışsın demektir.

Sadeleştirmede sık hata

Bir kesri sadeleştirirken yalnızca ortak çarpanı götürebilirsin, terimi değil: \[\frac{x+2}{x} \neq \frac{2}{1}\] Buradaki $x$ bir terim, çarpan değil; götüremezsin. Önce pay çarpanlara ayrılır, sonra ortak çarpan sadeleşir.

6.4 Örnekler

Örnek 1. $10x + 15 = 5(2x + 3)$

Örnek 2. $x^2 + 3x = x(x + 3)$

Örnek 3. $x^2 + 7x + 12$: çarpım 12, toplam 7 → $3, 4$ → $(x+3)(x+4)$

Örnek 4. $x^2 - 5x + 6$: çarpım 6, toplam $-5$ → $-2, -3$ → $(x-2)(x-3)$

Örnek 5. $x^2 + 2x - 15$: çarpım $-15$, toplam $2$ → $5, -3$ → $(x+5)(x-3)$

ML köprüsü

Çarpanlara ayırma, bir ifadeyi yapı taşlarına bölmektir. İkinci derecede bu, fonksiyonun nerede sıfır olduğunu (köklerini) bulmak demektir — bir sonraki konularda parabolün ekseni kestiği noktalar. Makine öğrenmesinde de bir fonksiyonun sıfır/minimum noktasını bulmak (örneğin türevi sıfıra eşitleyip çözmek) optimizasyonun kalbidir; aynı “sıfıra eşitle ve çöz” fikri.

6.5 Alıştırmalar

Çarpanlara ayır:

$8x + 12$
$x^2 + 5x$
$x^2 + 7x + 12$
$x^2 - 5x + 6$
$x^2 - x - 12$
$x^2 + 2x - 15$

Çözümler (önce kendin dene, sonra aç)

Ortak çarpan 4: $4(2x + 3)$
Ortak çarpan $x$: $x(x + 5)$
Çarpım 12, toplam 7 → $3, 4$: $(x+3)(x+4)$
Çarpım 6, toplam $-5$ → $-2, -3$: $(x-2)(x-3)$
Çarpım $-12$, toplam $-1$ → $-4, +3$: $(x-4)(x+3)$
Çarpım $-15$, toplam $2$ → $+5, -3$: $(x+5)(x-3)$

Sonraki ders: Özdeşlikler.

--- title: "Çarpanlara Ayırma" subtitle: "Dağıtmanın tersi — ortak çarpan ve üç terimli ifadeler" --- Çarpanlara ayırma, bir toplamı **çarpıma** çevirmektir — yani dağıtmanın (parantez açmanın) tersi. Bu beceri ikinci derece denklemleri çözmenin, ifadeleri sadeleştirmenin ve köklerini bulmanın temelidir. ## Çarpanlara ayırma nedir? Dağıtma çarpımı toplama açar; çarpanlara ayırma toplamı geri çarpıma toplar: $$a(b+c) = ab + ac \qquad\Longleftrightarrow\qquad ab + ac = a(b+c)$$ Soldan sağa giderken (dağıtma) parantez açılır; sağdan sola giderken (çarpanlara ayırma) ortak parça dışarı alınır. ## Ortak çarpan İlk bakılacak şey: tüm terimlerde ortak olan en büyük parça var mı? Varsa dışarı al. $$6x + 9 = 3(2x + 3) \qquad x^2 + x = x(x+1) \qquad 4x^2 + 6x = 2x(2x + 3)$$ Kontrol için her zaman geri dağıt: $3(2x+3) = 6x + 9$. ✓ ## Üç terimli ifade $x^2 + bx + c$ biçimindeki ifadeyi çarpanlara ayırmanın mantığı, çarpımı açmaktan gelir: $$(x + p)(x + q) = x^2 + (p+q)x + pq$$ Yani **çarpımı $c$, toplamı $b$ olan iki sayıyı** ($p$ ve $q$) ararız. Örnek: $x^2 + 5x + 6$ için çarpımı 6, toplamı 5 olan iki sayı → $2$ ve $3$: $$x^2 + 5x + 6 = (x+2)(x+3)$$ İşaretli örnek: $x^2 - x - 6$ için çarpımı $-6$, toplamı $-1$ → $-3$ ve $+2$: $$x^2 - x - 6 = (x-3)(x+2)$$ ### İşaretleri hızlı bulma | $c$ işareti | $b$ işareti | Çarpanların işareti | |:---:|:---:|:---| | $+$ | $+$ | ikisi de $+$ | | $+$ | $-$ | ikisi de $-$ | | $-$ | herhangi | **zıt** işaretli (mutlak değeri büyük olan, $b$'nin işaretini alır) | ::: {.callout-important title="Altın kural"} Çarpanlara ayırma = dağıtmanın tersi. Sonucundan emin olmak için her zaman **geri çarp**: $(x-3)(x+2)$'yi açınca $x^2 - x - 6$ çıkıyorsa doğru ayırmışsın demektir. ::: ::: {.callout-warning title="Sadeleştirmede sık hata"} Bir kesri sadeleştirirken yalnızca **ortak çarpanı** götürebilirsin, terimi değil: $$\frac{x+2}{x} \neq \frac{2}{1}$$ Buradaki $x$ bir terim, çarpan değil; götüremezsin. Önce pay çarpanlara ayrılır, sonra ortak **çarpan** sadeleşir. ::: ## Örnekler **Örnek 1.** $10x + 15 = 5(2x + 3)$ **Örnek 2.** $x^2 + 3x = x(x + 3)$ **Örnek 3.** $x^2 + 7x + 12$: çarpım 12, toplam 7 → $3, 4$ → $(x+3)(x+4)$ **Örnek 4.** $x^2 - 5x + 6$: çarpım 6, toplam $-5$ → $-2, -3$ → $(x-2)(x-3)$ **Örnek 5.** $x^2 + 2x - 15$: çarpım $-15$, toplam $2$ → $5, -3$ → $(x+5)(x-3)$ ::: {.callout-tip title="ML köprüsü"} Çarpanlara ayırma, bir ifadeyi yapı taşlarına bölmektir. İkinci derecede bu, fonksiyonun **nerede sıfır olduğunu** (köklerini) bulmak demektir — bir sonraki konularda parabolün ekseni kestiği noktalar. Makine öğrenmesinde de bir fonksiyonun sıfır/minimum noktasını bulmak (örneğin türevi sıfıra eşitleyip çözmek) optimizasyonun kalbidir; aynı "sıfıra eşitle ve çöz" fikri. ::: ## Alıştırmalar Çarpanlara ayır: 1. $8x + 12$ 2. $x^2 + 5x$ 3. $x^2 + 7x + 12$ 4. $x^2 - 5x + 6$ 5. $x^2 - x - 12$ 6. $x^2 + 2x - 15$ ::: {.callout-note collapse="true" title="Çözümler (önce kendin dene, sonra aç)"} 1. Ortak çarpan 4: $4(2x + 3)$ 2. Ortak çarpan $x$: $x(x + 5)$ 3. Çarpım 12, toplam 7 → $3, 4$: $(x+3)(x+4)$ 4. Çarpım 6, toplam $-5$ → $-2, -3$: $(x-2)(x-3)$ 5. Çarpım $-12$, toplam $-1$ → $-4, +3$: $(x-4)(x+3)$ 6. Çarpım $-15$, toplam $2$ → $+5, -3$: $(x+5)(x-3)$ ::: --- *Sonraki ders: Özdeşlikler.*

\(c\) işareti	\(b\) işareti	Çarpanların işareti
\(+\)	\(+\)	ikisi de \(+\)
\(+\)	\(-\)	ikisi de \(-\)
\(-\)	herhangi	zıt işaretli (mutlak değeri büyük olan, \(b\)’nin işaretini alır)