4 Kesirli Denklemler

Paydadan kurtulma — denklem mantığının kesirli hâli

Bir önceki derste denklemi terazi gibi çözmeyi öğrendik: bir tarafa yaptığını diğerine de yap, bilinmeyeni yalnız bırak. Kesirli denklemde aynı mantık geçerli; tek ek adım, paydadan kurtulmak. Kesir gözünü korkutmasın — bir kez paydayı temizleyince elinde sıradan bir denklem kalır.

4.1 Temel fikir: paydayı sil

Bir tarafta payda varsa, iki tarafı o paydayla çarp. Bölmenin tersi çarpmadır:

\[\frac{x}{4} = 5 \quad\xrightarrow{\;\times 4\;}\quad x = 20\]

İki tarafı 4 ile çarptık; soldaki 4 sadeleşti, $x$ yalnız kaldı.

4.2 Bilinmeyen paydadaysa

Bilinmeyen paydadaysa da yöntem aynı — iki tarafı o ifadeyle çarp:

\[\frac{12}{x} = 3 \quad\xrightarrow{\;\times x\;}\quad 12 = 3x \quad\Rightarrow\quad x = 4\]

Bir şart: payda sıfır olamaz

$\dfrac{12}{x}$ ifadesinde $x = 0$ olamaz, çünkü sıfıra bölme tanımsızdır. Bilinmeyen paydadayken bulduğun cevabın paydayı sıfır yapmadığını her zaman kontrol et.

4.3 İki kesir eşitse: çapraz çarpım

$\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$ biçiminde iki kesir eşitse, çaprazları çarparsın: $a \cdot d = b \cdot c$. Bu aslında iki tarafı $b \cdot d$ ile çarpmanın kısayoludur.

\[\frac{x+1}{2} = \frac{x-1}{3} \quad\Rightarrow\quad 3(x+1) = 2(x-1)\] \[3x + 3 = 2x - 2 \quad\Rightarrow\quad x = -5\]

Kontrol: sol $\dfrac{-5+1}{2} = \dfrac{-4}{2} = -2$, sağ $\dfrac{-5-1}{3} = \dfrac{-6}{3} = -2$. ✓

4.4 Birden çok kesir: ortak payda

Toplama/çıkarma içeren kesirli denklemde iki tarafı ortak paydayla (paydaların en küçük ortak katı) çarp. Böylece tüm kesirler aynı anda silinir:

\[\frac{x}{2} + \frac{x}{3} = 5 \quad\xrightarrow{\;\times 6\;}\quad 3x + 2x = 30 \quad\Rightarrow\quad 5x = 30 \quad\Rightarrow\quad x = 6\]

Altın kural

Paydayla çarparken her terimi çarp — sadece kesirli olanları değil, eşittirin diğer tarafındaki sayıyı da. $\dfrac{x}{2} + \dfrac{x}{3} = 5$’te 6 ile çarpınca $5$ de $30$ olur. En sık hata, bir terimi atlamaktır.

4.5 Örnekler

Örnek 1. $\dfrac{x}{5} = 4$. İki tarafı 5 ile çarp: \[x = 20\]

Örnek 2. $\dfrac{20}{x} = 4$ ($x \neq 0$). İki tarafı $x$ ile çarp: \[20 = 4x \quad\Rightarrow\quad x = 5\]

Örnek 3 (çapraz çarpım). $\dfrac{x+2}{3} = \dfrac{x-4}{2}$: \[2(x+2) = 3(x-4) \quad\Rightarrow\quad 2x + 4 = 3x - 12 \quad\Rightarrow\quad x = 16\] Kontrol: $\dfrac{16+2}{3} = 6$, $\dfrac{16-4}{2} = 6$. ✓

Örnek 4 (ortak payda). $\dfrac{x}{2} + \dfrac{x}{4} = 9$. Ortak payda 4; iki tarafı 4 ile çarp: \[2x + x = 36 \quad\Rightarrow\quad 3x = 36 \quad\Rightarrow\quad x = 12\]

ML köprüsü

Kesir aslında bir orandır. Makine öğrenmesinde oranlar her yerde: olasılık $p = \dfrac{\text{istenen}}{\text{toplam}}$, bir vektörü birim uzunluğa indirgerken büyüklüğüne böleriz (normalizasyon), öğrenme oranı (learning rate) küçük bir kesirdir. Paydayı sadeleştirme ve oranlarla rahat çalışma, bu kavramların hepsinin temelinde yatar.

4.6 Alıştırmalar

Çöz:

$\dfrac{x}{5} = 4$
$\dfrac{18}{x} = 6$
$\dfrac{x}{3} + 2 = 7$
$\dfrac{x}{2} + \dfrac{x}{4} = 9$
$\dfrac{x+2}{3} = \dfrac{x-4}{2}$
$\dfrac{20}{x} = 4$

Çözümler (önce kendin dene, sonra aç)

$x = 20$
$18 = 6x \Rightarrow x = 3$
$\dfrac{x}{3} = 5 \Rightarrow x = 15$
$\times 4:\ 2x + x = 36 \Rightarrow 3x = 36 \Rightarrow x = 12$
Çapraz: $2(x+2) = 3(x-4) \Rightarrow 2x + 4 = 3x - 12 \Rightarrow x = 16$
$20 = 4x \Rightarrow x = 5$

Sonraki ders: Üslü İfadeler.

--- title: "Kesirli Denklemler" subtitle: "Paydadan kurtulma — denklem mantığının kesirli hâli" --- Bir önceki derste denklemi terazi gibi çözmeyi öğrendik: bir tarafa yaptığını diğerine de yap, bilinmeyeni yalnız bırak. Kesirli denklemde aynı mantık geçerli; tek ek adım, **paydadan kurtulmak**. Kesir gözünü korkutmasın — bir kez paydayı temizleyince elinde sıradan bir denklem kalır. ## Temel fikir: paydayı sil Bir tarafta payda varsa, **iki tarafı o paydayla çarp**. Bölmenin tersi çarpmadır: $$\frac{x}{4} = 5 \quad\xrightarrow{\;\times 4\;}\quad x = 20$$ İki tarafı 4 ile çarptık; soldaki 4 sadeleşti, $x$ yalnız kaldı. ## Bilinmeyen paydadaysa Bilinmeyen paydadaysa da yöntem aynı — iki tarafı o ifadeyle çarp: $$\frac{12}{x} = 3 \quad\xrightarrow{\;\times x\;}\quad 12 = 3x \quad\Rightarrow\quad x = 4$$ ::: {.callout-warning title="Bir şart: payda sıfır olamaz"} $\dfrac{12}{x}$ ifadesinde $x = 0$ olamaz, çünkü sıfıra bölme tanımsızdır. Bilinmeyen paydadayken bulduğun cevabın paydayı sıfır yapmadığını her zaman kontrol et. ::: ## İki kesir eşitse: çapraz çarpım $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$ biçiminde iki kesir eşitse, **çaprazları çarparsın**: $a \cdot d = b \cdot c$. Bu aslında iki tarafı $b \cdot d$ ile çarpmanın kısayoludur. $$\frac{x+1}{2} = \frac{x-1}{3} \quad\Rightarrow\quad 3(x+1) = 2(x-1)$$ $$3x + 3 = 2x - 2 \quad\Rightarrow\quad x = -5$$ Kontrol: sol $\dfrac{-5+1}{2} = \dfrac{-4}{2} = -2$, sağ $\dfrac{-5-1}{3} = \dfrac{-6}{3} = -2$. ✓ ## Birden çok kesir: ortak payda Toplama/çıkarma içeren kesirli denklemde iki tarafı **ortak paydayla** (paydaların en küçük ortak katı) çarp. Böylece tüm kesirler aynı anda silinir: $$\frac{x}{2} + \frac{x}{3} = 5 \quad\xrightarrow{\;\times 6\;}\quad 3x + 2x = 30 \quad\Rightarrow\quad 5x = 30 \quad\Rightarrow\quad x = 6$$ ::: {.callout-important title="Altın kural"} Paydayla çarparken **her terimi** çarp — sadece kesirli olanları değil, eşittirin diğer tarafındaki sayıyı da. $\dfrac{x}{2} + \dfrac{x}{3} = 5$'te 6 ile çarpınca $5$ de $30$ olur. En sık hata, bir terimi atlamaktır. ::: ## Örnekler **Örnek 1.** $\dfrac{x}{5} = 4$. İki tarafı 5 ile çarp: $$x = 20$$ **Örnek 2.** $\dfrac{20}{x} = 4$ ($x \neq 0$). İki tarafı $x$ ile çarp: $$20 = 4x \quad\Rightarrow\quad x = 5$$ **Örnek 3 (çapraz çarpım).** $\dfrac{x+2}{3} = \dfrac{x-4}{2}$: $$2(x+2) = 3(x-4) \quad\Rightarrow\quad 2x + 4 = 3x - 12 \quad\Rightarrow\quad x = 16$$ Kontrol: $\dfrac{16+2}{3} = 6$, $\dfrac{16-4}{2} = 6$. ✓ **Örnek 4 (ortak payda).** $\dfrac{x}{2} + \dfrac{x}{4} = 9$. Ortak payda 4; iki tarafı 4 ile çarp: $$2x + x = 36 \quad\Rightarrow\quad 3x = 36 \quad\Rightarrow\quad x = 12$$ ::: {.callout-tip title="ML köprüsü"} Kesir aslında bir **orandır**. Makine öğrenmesinde oranlar her yerde: olasılık $p = \dfrac{\text{istenen}}{\text{toplam}}$, bir vektörü birim uzunluğa indirgerken büyüklüğüne böleriz (normalizasyon), öğrenme oranı (learning rate) küçük bir kesirdir. Paydayı sadeleştirme ve oranlarla rahat çalışma, bu kavramların hepsinin temelinde yatar. ::: ## Alıştırmalar Çöz: 1. $\dfrac{x}{5} = 4$ 2. $\dfrac{18}{x} = 6$ 3. $\dfrac{x}{3} + 2 = 7$ 4. $\dfrac{x}{2} + \dfrac{x}{4} = 9$ 5. $\dfrac{x+2}{3} = \dfrac{x-4}{2}$ 6. $\dfrac{20}{x} = 4$ ::: {.callout-note collapse="true" title="Çözümler (önce kendin dene, sonra aç)"} 1. $x = 20$ 2. $18 = 6x \Rightarrow x = 3$ 3. $\dfrac{x}{3} = 5 \Rightarrow x = 15$ 4. $\times 4:\ 2x + x = 36 \Rightarrow 3x = 36 \Rightarrow x = 12$ 5. Çapraz: $2(x+2) = 3(x-4) \Rightarrow 2x + 4 = 3x - 12 \Rightarrow x = 16$ 6. $20 = 4x \Rightarrow x = 5$ ::: --- *Sonraki ders: Üslü İfadeler.*