24 İç Çarpım

Bileşenleri çarp ve topla — bir nöronun hesabı

İç çarpım (nokta çarpımı), iki vektörü tek bir sayıya bağlayan işlemdir. Toplam Sembolü dersindeki Σ’nın iki vektöre uygulanmış hâlidir — ve bir nöronun yaptığı hesabın ta kendisidir. Bu ders, foundation boyunca topladığımız parçaları tek formülde birleştirir.

24.1 İç çarpım nasıl hesaplanır?

Karşılıklı bileşenleri çarpıp toplarsın:

\[\vec{u} \cdot \vec{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2 + \dots + u_n v_n = \sum_{i=1}^{n} u_i v_i\]

Örnek: $(3, 2) \cdot (1, 4) = 3 \cdot 1 + 2 \cdot 4 = 3 + 8 = 11$.

Dikkat: bu tam olarak Toplam Sembolü dersindeki Σ’dır — sadece toplanan terim iki vektörün bileşenlerinin çarpımıdır.

24.2 Sonuç bir skalerdir

İç çarpımın sonucu bir sayıdır (skaler), vektör değil. Bu, onu vektör toplama ve skaler çarpımdan ayırır: o işlemler vektör üretirdi, iç çarpım tek bir sayı üretir.

24.3 Geometrik anlam: açı

İç çarpımın bir de geometrik yüzü vardır. İki vektörün uzunlukları ve aralarındaki açı $\theta$ cinsinden:

\[\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}|\,|\vec{v}|\cos\theta\]

İşareti, vektörlerin birbirine göre yönünü söyler:

Şekil 24.1: İç çarpımın işareti vektörler arası açıyı söyler: dar açıda pozitif, dik açıda sıfır, geniş açıda negatif.

Dar açı (< 90°) → pozitif: vektörler benzer yöne bakıyor.
Dik açı (= 90°) → sıfır: vektörler birbirine dik (ilişkisiz).
Geniş açı (> 90°) → negatif: vektörler zıt yöne bakıyor.

24.4 Nöronun hesabı

Şimdi parçaları birleştir. Bir nöronun çıktısı:

\[y = \vec{w} \cdot \vec{x} + b = \sum_{i=1}^{n} w_i x_i + b\]

Bu, Doğrusal Fonksiyon ve Eğim dersindeki tek-özellikli $wx + b$’nin, Toplam Sembolü dersindeki Σ’nın ve bu dersteki iç çarpımın aynı formülde buluşmasıdır.

Tek sayı, çift anlam

İç çarpım = bileşen çarpımlarının toplamı = tek bir skaler. Bu sayının işareti, iki vektörün benzer yöne mi (pozitif), dik mi (sıfır), zıt yöne mi (negatif) baktığını söyler. Hesapsal yüzü “çarp ve topla”, geometrik yüzü “ne kadar aynı yöne bakıyorlar”.

İki tuzak

İç çarpımın çıktısı bir skalerdir, vektör değil — vektör toplamayla karıştırma.
İç çarpım için boyutlar eşit olmalı. Ayrıca bileşen-bazlı çarpımla ($u_1 v_1, u_2 v_2, \dots$ — ki bu bir vektör kalır) karıştırma; iç çarpım o çarpımları toplar ve sayıya iner.

24.5 Örnek

Örnek 1. $(2, 5) \cdot (3, 1) = 2 \cdot 3 + 5 \cdot 1 = 6 + 5 = 11$.

Örnek 2 (dik). $(1, 0) \cdot (0, 1) = 0$ → vektörler birbirine dik.

Örnek 3 (kendiyle). $(2, 3) \cdot (2, 3) = 4 + 9 = 13$ — bir vektörün kendisiyle iç çarpımı uzunluğunun karesidir (sıradaki ders).

ML köprüsü

İç çarpım, sinir ağlarının en temel hesabıdır:

Nöron: $y = \vec{w} \cdot \vec{x} + b$ — bir nöron, ağırlık vektörü ile girdi vektörünün iç çarpımını alıp bias ekler. Tüm foundation buraya çıkıyor.
Katman: bir katman, birçok nöronun iç çarpımıdır (matris-vektör çarpımı — ileride).
Dikkat (attention): transformer’larda hangi öğenin hangisiyle ne kadar ilgili olduğu, sorgu ve anahtar vektörlerinin iç çarpımıyla ölçülür — modern LLM’lerin çekirdeği.
İç çarpım aynı zamanda benzerliğin temelidir; bir sonraki derste kosinüs benzerliğine bağlayacağız.

24.6 Alıştırmalar

$(3, 2) \cdot (1, 4) = ?$
$(2, 5) \cdot (3, 1) = ?$
$(1, 0) \cdot (0, 1) = ?$ (sonuç ne diyor?)
$(2, 3) \cdot (2, 3) = ?$
$(1, 2, 3) \cdot (4, 5, 6) = ?$
$(1, -2) \cdot (3, 1) = ?$

Çözümler (önce kendin dene, sonra aç)

$3 \cdot 1 + 2 \cdot 4 = 3 + 8 = 11$
$2 \cdot 3 + 5 \cdot 1 = 6 + 5 = 11$
$1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 = 0$ → vektörler birbirine dik
$2 \cdot 2 + 3 \cdot 3 = 4 + 9 = 13$
$1 \cdot 4 + 2 \cdot 5 + 3 \cdot 6 = 4 + 10 + 18 = 32$
$1 \cdot 3 + (-2) \cdot 1 = 3 - 2 = 1$

Sonraki ders: Vektör Uzunluğu ve Kosinüs Benzerliği.

--- title: "İç Çarpım" subtitle: "Bileşenleri çarp ve topla — bir nöronun hesabı" --- İç çarpım (nokta çarpımı), iki vektörü tek bir sayıya bağlayan işlemdir. Toplam Sembolü dersindeki Σ'nın iki vektöre uygulanmış hâlidir — ve bir nöronun yaptığı hesabın ta kendisidir. Bu ders, foundation boyunca topladığımız parçaları tek formülde birleştirir. ## İç çarpım nasıl hesaplanır? Karşılıklı bileşenleri çarpıp toplarsın: $$\vec{u} \cdot \vec{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2 + \dots + u_n v_n = \sum_{i=1}^{n} u_i v_i$$ Örnek: $(3, 2) \cdot (1, 4) = 3 \cdot 1 + 2 \cdot 4 = 3 + 8 = 11$. Dikkat: bu tam olarak Toplam Sembolü dersindeki Σ'dır — sadece toplanan terim iki vektörün bileşenlerinin çarpımıdır. ## Sonuç bir skalerdir İç çarpımın sonucu bir **sayıdır** (skaler), vektör değil. Bu, onu vektör toplama ve skaler çarpımdan ayırır: o işlemler vektör üretirdi, iç çarpım tek bir sayı üretir. ## Geometrik anlam: açı İç çarpımın bir de geometrik yüzü vardır. İki vektörün uzunlukları ve aralarındaki açı $\theta$ cinsinden: $$\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}|\,|\vec{v}|\cos\theta$$ İşareti, vektörlerin birbirine göre yönünü söyler: ```{python} #| label: fig-ic-carpim-aci #| fig-cap: "İç çarpımın işareti vektörler arası açıyı söyler: dar açıda pozitif, dik açıda sıfır, geniş açıda negatif." #| echo: false import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt fig, axes = plt.subplots(1, 3, figsize=(9, 3.4)) cases = [ (30, "dar açı: çarpım pozitif", "#15803D"), (90, "dik açı: çarpım sıfır", "#2563EB"), (140, "geniş açı: çarpım negatif", "#DC2626"), ] for ax, (deg, title, color) in zip(axes, cases): ax.annotate("", xy=(1, 0), xytext=(0, 0), arrowprops=dict(arrowstyle="-|>", color="#374151", lw=2)) ax.text(1.02, -0.12, "u", fontsize=12, color="#374151") th = np.radians(deg) vx, vy = np.cos(th), np.sin(th) ax.annotate("", xy=(vx, vy), xytext=(0, 0), arrowprops=dict(arrowstyle="-|>", color=color, lw=2)) ax.text(vx*1.08, vy*1.08, "v", fontsize=12, color=color) ax.set_title(title, fontsize=10.5, color=color) ax.set_xlim(-1.3, 1.3) ax.set_ylim(-0.9, 1.3) ax.set_aspect("equal") ax.axhline(0, color="#e5e7eb", linewidth=0.6) ax.axvline(0, color="#e5e7eb", linewidth=0.6) ax.set_xticks([]); ax.set_yticks([]) plt.tight_layout() plt.show() ``` - Dar açı (< 90°) → pozitif: vektörler benzer yöne bakıyor. - Dik açı (= 90°) → sıfır: vektörler birbirine dik (ilişkisiz). - Geniş açı (> 90°) → negatif: vektörler zıt yöne bakıyor. ## Nöronun hesabı Şimdi parçaları birleştir. Bir nöronun çıktısı: $$y = \vec{w} \cdot \vec{x} + b = \sum_{i=1}^{n} w_i x_i + b$$ Bu, Doğrusal Fonksiyon ve Eğim dersindeki tek-özellikli $wx + b$'nin, Toplam Sembolü dersindeki Σ'nın ve bu dersteki iç çarpımın aynı formülde buluşmasıdır. ::: {.callout-important title="Tek sayı, çift anlam"} İç çarpım = bileşen çarpımlarının toplamı = tek bir **skaler**. Bu sayının işareti, iki vektörün benzer yöne mi (pozitif), dik mi (sıfır), zıt yöne mi (negatif) baktığını söyler. Hesapsal yüzü "çarp ve topla", geometrik yüzü "ne kadar aynı yöne bakıyorlar". ::: ::: {.callout-warning title="İki tuzak"} - İç çarpımın çıktısı bir **skalerdir**, vektör değil — vektör toplamayla karıştırma. - İç çarpım için boyutlar eşit olmalı. Ayrıca bileşen-bazlı çarpımla ($u_1 v_1, u_2 v_2, \dots$ — ki bu bir vektör kalır) karıştırma; iç çarpım o çarpımları **toplar** ve sayıya iner. ::: ## Örnek **Örnek 1.** $(2, 5) \cdot (3, 1) = 2 \cdot 3 + 5 \cdot 1 = 6 + 5 = 11$. **Örnek 2 (dik).** $(1, 0) \cdot (0, 1) = 0$ → vektörler birbirine dik. **Örnek 3 (kendiyle).** $(2, 3) \cdot (2, 3) = 4 + 9 = 13$ — bir vektörün kendisiyle iç çarpımı uzunluğunun karesidir (sıradaki ders). ::: {.callout-tip title="ML köprüsü"} İç çarpım, sinir ağlarının en temel hesabıdır: - **Nöron:** $y = \vec{w} \cdot \vec{x} + b$ — bir nöron, ağırlık vektörü ile girdi vektörünün iç çarpımını alıp bias ekler. Tüm foundation buraya çıkıyor. - **Katman:** bir katman, birçok nöronun iç çarpımıdır (matris-vektör çarpımı — ileride). - **Dikkat (attention):** transformer'larda hangi öğenin hangisiyle ne kadar ilgili olduğu, sorgu ve anahtar vektörlerinin iç çarpımıyla ölçülür — modern LLM'lerin çekirdeği. - İç çarpım aynı zamanda **benzerliğin** temelidir; bir sonraki derste kosinüs benzerliğine bağlayacağız. ::: ## Alıştırmalar 1. $(3, 2) \cdot (1, 4) = ?$ 2. $(2, 5) \cdot (3, 1) = ?$ 3. $(1, 0) \cdot (0, 1) = ?$ (sonuç ne diyor?) 4. $(2, 3) \cdot (2, 3) = ?$ 5. $(1, 2, 3) \cdot (4, 5, 6) = ?$ 6. $(1, -2) \cdot (3, 1) = ?$ ::: {.callout-note collapse="true" title="Çözümler (önce kendin dene, sonra aç)"} 1. $3 \cdot 1 + 2 \cdot 4 = 3 + 8 = 11$ 2. $2 \cdot 3 + 5 \cdot 1 = 6 + 5 = 11$ 3. $1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 = 0$ → vektörler birbirine dik 4. $2 \cdot 2 + 3 \cdot 3 = 4 + 9 = 13$ 5. $1 \cdot 4 + 2 \cdot 5 + 3 \cdot 6 = 4 + 10 + 18 = 32$ 6. $1 \cdot 3 + (-2) \cdot 1 = 3 - 2 = 1$ ::: --- *Sonraki ders: Vektör Uzunluğu ve Kosinüs Benzerliği.*