3  Denklem Mantığı

Bu derste cebirin en temel taşını koyuyoruz: denklem çözmek. Amaç işlem ezberlemek değil, neden öyle yaptığımızın mantığını kurmak. Bu mantık ileride bir modelin bilinmeyen parametresini çözmekten doğrusal model \(y = wx + b\)’yi anlamaya kadar her yerde karşına çıkacak.

3.1 Cebir nedir?

Cebir, bilmediğimiz bir sayıyı bir harfle gösterip onu bulma yöntemidir.

\[x + 5 = 12\]

Buradaki \(x\) henüz bilmediğimiz sayıdır. Soru şu: hangi sayıya 5 eklersek 12 olur? Cevap \(x = 7\), çünkü \(7 + 5 = 12\).

3.2 Değişken, ifade, denklem

NotKavram
  • Değişken: bilmediğimiz ya da değişebilen sayı. Harfle gösterilir: \(x,\ y,\ a,\ b\).
  • İfade: eşittir işareti olmayan matematiksel yazı. Örn. \(3x + 5\).
  • Denklem: iki tarafı birbirine eşit olan yazı. Örn. \(3x + 5 = 20\).

\(3x + 5\) ifadesinde:

  • \(x\) → değişken
  • \(3\) → katsayı
  • \(5\) → sabit sayı
  • \(3x\) → \(3 \times x\) demektir (\(3 + x\) değil)

Örneğin \(x = 4\) ise \(3x = 3 \times 4 = 12\).

3.3 Denklem bir terazidir

\(x + 5 = 12\) denkleminde sol taraf ile sağ taraf eşit ağırlıktadır. Dengeyi bozmamak için bir tarafa yaptığın işlemi diğerine de yapmalısın. İki taraftan da 5 çıkaralım:

\[x + 5 - 5 = 12 - 5 \quad\Rightarrow\quad x = 7\]

ÖnemliAltın kural

Denklemin bir tarafına yaptığın işlemi diğer tarafına da yapmalısın. Amaç: \(x\)’i yalnız bırakmak.

3.4 Ters işlemler

Bir sayının yanındaki işlemi kaldırmak için ters işlemi kullanırız:

İşlem Ters işlem
\(+5\) \(-5\)
\(-5\) \(+5\)
\(\times 5\) \(\div 5\)
\(\div 5\) \(\times 5\)

3.5 Örnekler

Örnek 1. \(x + 8 = 15\). Yanındaki \(+8\)’in tersi \(-8\): \[x + 8 - 8 = 15 - 8 \quad\Rightarrow\quad x = 7 \qquad (\text{kontrol: } 7+8=15)\]

Örnek 2. \(x - 4 = 10\). Tersi \(+4\): \[x - 4 + 4 = 10 + 4 \quad\Rightarrow\quad x = 14\]

Örnek 3. \(3x = 18\). \(x\), 3 ile çarpıldığı için iki tarafı 3’e böleriz: \[\frac{3x}{3} = \frac{18}{3} \quad\Rightarrow\quad x = 6\]

Örnek 4 (iki işlem). \(2x + 5 = 17\). İşlemleri ters sırayla kaldır — önce \(+5\), sonra \(\times 2\): \[2x = 12 \quad\Rightarrow\quad x = 6 \qquad (\text{kontrol: } 2(6)+5=17)\]

Örnek 5 (iki tarafta da \(x\)). \(5x - 4 = 3x + 10\). Önce \(x\)’leri bir tarafta topla (iki taraftan \(3x\) çıkar): \[2x - 4 = 10 \quad\Rightarrow\quad 2x = 14 \quad\Rightarrow\quad x = 7\] Kontrol: sol taraf \(5(7)-4 = 31\), sağ taraf \(3(7)+10 = 31\). ✓

Uyarı“Karşıya geçince işaret değişir” aslında ne demek?

Okulda “\(x + 5 = 12\) → 5 karşıya \(-5\) olarak geçer” denir. Bu pratik bir kısayol, ama sayı kendi kendine karşıya geçmez. Gerçekte yaptığın şey iki taraftan da 5 çıkarmaktır:

\[x + 5 - 5 = 12 - 5\]

Mantığı böyle öğrenirsen daha karmaşık denklemlerde hata yapmazsın.

3.6 Kesirli denkleme küçük giriş

\[\frac{x}{4} = 5\]

Burada \(x\), 4’e bölünmüş. Bölmenin tersi çarpmadır; iki tarafı 4 ile çarp:

\[4 \times \frac{x}{4} = 5 \times 4 \quad\Rightarrow\quad x = 20\]

İpucuML köprüsü

Denklem çözmek = bir bilinmeyeni izole etmek. Makine öğrenmesinde doğrusal modelin kendisi bir denklemdir: \(y = wx + b\). Eğitimde “doğru \(w\) ve \(b\) nedir?” sorusunu, tıpkı buradaki gibi dengeyi bozmadan adım adım çözeriz. Bugün öğrendiğin izole etme mantığı, ileride binlerce parametreli sistemlerin temelidir.

3.7 Alıştırmalar

Aşağıdaki denklemleri çöz:

  1. \(x + 9 = 16\)
  2. \(x - 7 = 12\)
  3. \(4x = 28\)
  4. \(2x + 3 = 15\)
  5. \(3x - 5 = 16\)
  6. \(5x + 2 = 3x + 18\)
  7. \(\dfrac{x}{4} + 3 = 8\)
  8. Sözel: Bir sayının 3 katının 4 fazlası 25’tir. Denklemi \(3x + 4 = 25\); \(x\)’i bul.
  1. \(x = 7\)
  2. \(x = 19\)
  3. \(x = 7\)
  4. \(2x = 12 \Rightarrow x = 6\)
  5. \(3x = 21 \Rightarrow x = 7\)
  6. \(5x - 3x = 18 - 2 \Rightarrow 2x = 16 \Rightarrow x = 8\)
  7. \(\dfrac{x}{4} = 5 \Rightarrow x = 20\)
  8. \(3x = 21 \Rightarrow x = 7\)

Sonraki ders: Kesirli Denklemler ve Üslü İfadeler.