12 Doğrusal Fonksiyon ve Eğim

y = mx + b — ML’in kalbindeki doğru

En basit ve en önemli fonksiyon biçimi doğrudur. Grafiği düz bir çizgi olan fonksiyona doğrusal fonksiyon denir. Bu dersteki $y = mx + b$ kalıbı, makine öğrenmesinin tam merkezinde duruyor — lineer regresyon ve tek bir yapay nöron, aynen bu denklemdir.

12.1 Doğrusal fonksiyon: $y = mx + b$

\[f(x) = mx + b\]

İki sayı doğruyu tamamen belirler:

$m$ — eğim (slope): doğru ne kadar dik, hangi yöne gidiyor.
$b$ — $y$-kesişimi (intercept): doğrunun $y$ eksenini kestiği yer, yani $f(0)$.

Şekil 12.1: $y = 2x + 1$ doğrusu: eğim $m = 2$ (1 sağa gidince 2 yukarı), $y$-kesişimi $b = 1$, yani $(0,1)$ noktası.

12.2 Eğim

Eğim, “ne kadar yukarı / ne kadar sağa” oranıdır — dikey değişimin yatay değişime bölümü:

\[m = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\]

Eğimin işareti doğrunun yönünü söyler:

$m > 0$ → doğru yukarı çıkar.
$m < 0$ → doğru aşağı iner.
$m = 0$ → yatay doğru.
$|m|$ büyüdükçe doğru dikleşir.

12.3 $y$-kesişimi

$b$, doğrunun $y$ eksenini deldiği noktadır; $x = 0$ koyarak bulunur: $f(0) = m \cdot 0 + b = b$. Yukarıdaki örnekte $f(0) = 1$, yani doğru $(0, 1)$’den geçer.

İki sayı, bir doğru

$m$ doğrunun eğimini ve yönünü, $b$ ise dikey konumunu belirler. Bu ikisi verildiğinde doğru tek bir şekilde sabitlenir — başka hiçbir bilgiye gerek yoktur.

12.4 İki noktadan eğim

$(1, 2)$ ve $(3, 8)$ noktalarından geçen doğrunun eğimi:

\[m = \frac{8 - 2}{3 - 1} = \frac{6}{2} = 3\]

İki tuzak

Eğim $\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$’tir, $\dfrac{\Delta x}{\Delta y}$ değil — dikey önce, yatay sonra.
Noktaların sırasını ikisinde de aynı tut: $\dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$. Birini ters çevirirsen işaret yanlış çıkar.

12.5 Örnekler

Örnek 1. $y = 3x - 2$: eğim $m = 3$, kesişim $b = -2$.

Örnek 2. $y = -2x + 5$: eğim $m = -2$ (aşağı iner), kesişim $b = 5$.

Örnek 3 (iki nokta). $(0, 4)$ ve $(2, 0)$: $m = \dfrac{0 - 4}{2 - 0} = -2$.

ML köprüsü

$y = mx + b$ denklemini ML notasyonuyla yaz: $y = wx + b$. Bu, lineer regresyonun ve tek bir yapay nöronun tam tanımıdır.

$w$ (ağırlık / weight) = eğim $m$ → modelin öğrendiği şey.
$b$ (bias) = $y$-kesişimi → çıktıyı yukarı/aşağı kaydıran sabit.

Modeli eğitmek, veriye en iyi uyan $w$ ve $b$ değerlerini bulmaktır; gradyan inişi tam olarak bu eğimi ve kesişimi ayarlar. Bir sinir ağı ise üst üste yığılmış binlerce böyle doğrudur (daha doğrusu: aktivasyon — doğrusal-olmayanlık — olmadan bu bileşke tek bir doğruya çökerdi; ağı bir doğrudan fazlası yapan, araya giren aktivasyonlardır). Bu tek satır, tüm derin öğrenmenin tohumudur.

12.6 Alıştırmalar

$y = 4x + 3$ doğrusunun eğimi ve $y$-kesişimi nedir?
$(2, 5)$ ve $(4, 11)$ noktalarından geçen doğrunun eğimi?
$y = -x + 7$ doğrusunun eğimi nedir?
Eğimi $2$, $y$-kesişimi $-1$ olan doğrunun denklemi?
$(0, 4)$ ve $(2, 0)$ noktalarından geçen doğrunun eğimi?
$f(x) = 5x$ doğrusunun $y$-kesişimi nedir?

Çözümler (önce kendin dene, sonra aç)

$m = 4$, $b = 3$
$\dfrac{11 - 5}{4 - 2} = \dfrac{6}{2} = 3$
$m = -1$ (çünkü $y = -1 \cdot x + 7$)
$y = 2x - 1$
$\dfrac{0 - 4}{2 - 0} = \dfrac{-4}{2} = -2$
$b = 0$ (çünkü $y = 5x + 0$; doğru orijinden geçer)

Sonraki ders: Parabol.

--- title: "Doğrusal Fonksiyon ve Eğim" subtitle: "y = mx + b — ML'in kalbindeki doğru" --- En basit ve en önemli fonksiyon biçimi doğrudur. Grafiği düz bir çizgi olan fonksiyona **doğrusal fonksiyon** denir. Bu dersteki $y = mx + b$ kalıbı, makine öğrenmesinin tam merkezinde duruyor — lineer regresyon ve tek bir yapay nöron, aynen bu denklemdir. ## Doğrusal fonksiyon: $y = mx + b$ $$f(x) = mx + b$$ İki sayı doğruyu tamamen belirler: - $m$ — **eğim (slope):** doğru ne kadar dik, hangi yöne gidiyor. - $b$ — **$y$-kesişimi (intercept):** doğrunun $y$ eksenini kestiği yer, yani $f(0)$. ```{python} #| label: fig-egim #| fig-cap: "$y = 2x + 1$ doğrusu: eğim $m = 2$ (1 sağa gidince 2 yukarı), $y$-kesişimi $b = 1$, yani $(0,1)$ noktası." #| echo: false import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt fig, ax = plt.subplots(figsize=(6, 5)) x = np.linspace(-1.5, 3.5, 100) ax.plot(x, 2*x + 1, color="#15803D", linewidth=2.5, label="$y = 2x + 1$", zorder=3) ax.plot(0, 1, "o", color="#DC2626", markersize=9, zorder=5) ax.annotate("$b = 1$", (0, 1), textcoords="offset points", xytext=(10, -20), fontsize=12, color="#DC2626") x0, y0 = 1, 3 # doğru üstünde bir nokta ax.plot([x0, x0 + 1], [y0, y0], color="#D97706", linewidth=2, zorder=4) ax.annotate("$\\Delta x = 1$", (x0 + 0.5, y0), textcoords="offset points", xytext=(0, -16), ha="center", fontsize=11, color="#D97706") ax.plot([x0 + 1, x0 + 1], [y0, y0 + 2], color="#D97706", linewidth=2, zorder=4) ax.annotate("$\\Delta y = 2$", (x0 + 1, y0 + 1), textcoords="offset points", xytext=(8, 0), va="center", fontsize=11, color="#D97706") ax.axhline(0, color="#9ca3af", linewidth=0.8) ax.axvline(0, color="#9ca3af", linewidth=0.8) ax.set_xlim(-1.5, 3.5) ax.set_ylim(-1, 8) ax.legend(fontsize=12, loc="upper left") ax.grid(True, alpha=0.2) ax.set_xlabel("$x$"); ax.set_ylabel("$y$") plt.tight_layout() plt.show() ``` ## Eğim Eğim, "ne kadar yukarı / ne kadar sağa" oranıdır — dikey değişimin yatay değişime bölümü: $$m = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$$ Eğimin işareti doğrunun yönünü söyler: - $m > 0$ → doğru yukarı çıkar. - $m < 0$ → doğru aşağı iner. - $m = 0$ → yatay doğru. - $|m|$ büyüdükçe doğru dikleşir. ## $y$-kesişimi $b$, doğrunun $y$ eksenini deldiği noktadır; $x = 0$ koyarak bulunur: $f(0) = m \cdot 0 + b = b$. Yukarıdaki örnekte $f(0) = 1$, yani doğru $(0, 1)$'den geçer. ::: {.callout-important title="İki sayı, bir doğru"} $m$ doğrunun **eğimini ve yönünü**, $b$ ise **dikey konumunu** belirler. Bu ikisi verildiğinde doğru tek bir şekilde sabitlenir — başka hiçbir bilgiye gerek yoktur. ::: ## İki noktadan eğim $(1, 2)$ ve $(3, 8)$ noktalarından geçen doğrunun eğimi: $$m = \frac{8 - 2}{3 - 1} = \frac{6}{2} = 3$$ ::: {.callout-warning title="İki tuzak"} - Eğim $\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$'tir, $\dfrac{\Delta x}{\Delta y}$ değil — dikey önce, yatay sonra. - Noktaların sırasını ikisinde de aynı tut: $\dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$. Birini ters çevirirsen işaret yanlış çıkar. ::: ## Örnekler **Örnek 1.** $y = 3x - 2$: eğim $m = 3$, kesişim $b = -2$. **Örnek 2.** $y = -2x + 5$: eğim $m = -2$ (aşağı iner), kesişim $b = 5$. **Örnek 3 (iki nokta).** $(0, 4)$ ve $(2, 0)$: $m = \dfrac{0 - 4}{2 - 0} = -2$. ::: {.callout-tip title="ML köprüsü"} $y = mx + b$ denklemini ML notasyonuyla yaz: $y = wx + b$. Bu, **lineer regresyonun** ve **tek bir yapay nöronun** tam tanımıdır. - $w$ (ağırlık / weight) = eğim $m$ → modelin **öğrendiği** şey. - $b$ (bias) = $y$-kesişimi → çıktıyı yukarı/aşağı kaydıran sabit. Modeli eğitmek, veriye en iyi uyan $w$ ve $b$ değerlerini bulmaktır; gradyan inişi tam olarak bu eğimi ve kesişimi ayarlar. Bir sinir ağı ise üst üste yığılmış binlerce böyle doğrudur (daha doğrusu: aktivasyon — doğrusal-olmayanlık — olmadan bu bileşke tek bir doğruya çökerdi; ağı bir doğrudan fazlası yapan, araya giren aktivasyonlardır). Bu tek satır, tüm derin öğrenmenin tohumudur. ::: ## Alıştırmalar 1. $y = 4x + 3$ doğrusunun eğimi ve $y$-kesişimi nedir? 2. $(2, 5)$ ve $(4, 11)$ noktalarından geçen doğrunun eğimi? 3. $y = -x + 7$ doğrusunun eğimi nedir? 4. Eğimi $2$, $y$-kesişimi $-1$ olan doğrunun denklemi? 5. $(0, 4)$ ve $(2, 0)$ noktalarından geçen doğrunun eğimi? 6. $f(x) = 5x$ doğrusunun $y$-kesişimi nedir? ::: {.callout-note collapse="true" title="Çözümler (önce kendin dene, sonra aç)"} 1. $m = 4$, $b = 3$ 2. $\dfrac{11 - 5}{4 - 2} = \dfrac{6}{2} = 3$ 3. $m = -1$ (çünkü $y = -1 \cdot x + 7$) 4. $y = 2x - 1$ 5. $\dfrac{0 - 4}{2 - 0} = \dfrac{-4}{2} = -2$ 6. $b = 0$ (çünkü $y = 5x + 0$; doğru orijinden geçer) ::: --- *Sonraki ders: Parabol.*

12 Doğrusal Fonksiyon ve Eğim

12.1 Doğrusal fonksiyon: \(y = mx + b\)

12.2 Eğim

12.3 \(y\)-kesişimi

12.4 İki noktadan eğim

12.5 Örnekler

12.6 Alıştırmalar