15 Fonksiyon Bileşkesi

f(g(x)) — sinir ağının iskeleti

Bir fonksiyonun çıktısını başka bir fonksiyona girdi yapmaya bileşke denir. Basit görünür ama derin öğrenmenin kavramsal anahtarıdır: bir sinir ağı, üst üste binmiş fonksiyonların bileşkesinden başka bir şey değildir.

15.1 Bileşke nedir?

$f(g(x))$ ifadesi şu sırayı söyler: önce $g$’yi uygula, sonra çıkan sonuca $f$’yi uygula. Gösterimi:

\[(f \circ g)(x) = f(g(x))\]

Bunu zincirlenmiş makineler gibi düşün — birinin çıktısı diğerinin girdisidir:

Şekil 15.1: Fonksiyon bileşkesi $f(g(x))$: girdi önce $g$ makinesinden geçer, onun çıktısı $g(x)$ sonra $f$ makinesine girer.

İçteki fonksiyon ($g$) önce çalışır, dıştaki ($f$) sonra. İfadeyi içten dışa doğru oku.

15.2 Hesaplama

Bir sayıyı koymak için içten başla. $f(x) = x + 1$ ve $g(x) = x^2$ olsun:

\[f(g(2)): \quad g(2) = 4 \;\Rightarrow\; f(4) = 5\]

Formülün kendisini bulmak için $g(x)$’i $f$’nin içine yazarsın:

\[f(g(x)) = f(x^2) = x^2 + 1\]

15.3 Sıra önemlidir

Bileşkede sıra genellikle sonucu değiştirir: $f(g(x)) \neq g(f(x))$. Aynı $f$ ve $g$ ile ters sırayı dene:

\[g(f(x)) = g(x + 1) = (x + 1)^2 = x^2 + 2x + 1\]

$x^2 + 1$ ile aynı değil — hangi makinenin önce çalıştığı önemlidir.

İçten dışa

$f(g(x))$’te içteki fonksiyon önce, dıştaki sonra çalışır. Sırayı değiştirmek farklı bir fonksiyon verir; $f(g(x))$ ile $g(f(x))$ aynı şey değildir.

İki tuzak

$f(g(x))$ bir çarpım değildir: $f(g(x)) \neq f(x) \cdot g(x)$. Bileşke “uygulama”dır, çarpma değil.
Parantezleri içten dışa çöz; en içteki girdiyi en önce hesapla.

15.4 Örnek

$f(x) = 2x$ ve $g(x) = x^2$ olsun:

$f(g(x)) = f(x^2) = 2x^2$
$g(f(x)) = g(2x) = (2x)^2 = 4x^2$ — farklı.
Sayıyla: $f(g(3)) = f(9) = 18$; $g(f(3)) = g(6) = 36$.

ML köprüsü

Bir sinir ağı, fonksiyon bileşkesinden ibarettir. Her katman bir fonksiyondur; ağ bunları sırayla uygular: \[\text{çıktı} = f_n(\dots f_2(f_1(x)))\]

Her katman genelde bir doğrusal parça ($wx + b$, Doğrusal Fonksiyon ve Eğim dersi) ve onun üstüne bir aktivasyon ($\sigma$, ReLU — Üstel ve Logaritmik Fonksiyon dersi) bileşkesidir. Yani derin ağ = içten dışa zincirlenmiş yüzlerce makine.

Eğitimde kullanılan geri yayılım (backprop), bu bileşkenin türevini zincir kuralıyla hesaplar — zincir kuralı bizzat $f(g(x))$’in türev kuralıdır (kalkülüs sütununda göreceğiz). Bu dersteki bileşke, derin öğrenmenin iskeletidir.

15.5 Alıştırmalar

$f(x) = x + 2$ ve $g(x) = 3x$ olsun (1–2):

$f(g(x)) = ?$
$g(f(x)) = ?$

$f(x) = x^2$ ve $g(x) = x - 1$ olsun (3–4):

$f(g(2)) = ?$
$g(f(2)) = ?$
$f(x) = 2x$, $g(x) = x^2$ için $f(g(3)) = ?$
$f(x) = x + 5$, $g(x) = x + 1$ için $f(g(x)) = ?$

Çözümler (önce kendin dene, sonra aç)

$f(g(x)) = f(3x) = 3x + 2$
$g(f(x)) = g(x + 2) = 3(x + 2) = 3x + 6$ (1’den farklı — sıra önemli)
$g(2) = 2 - 1 = 1$, sonra $f(1) = 1^2 = 1$
$f(2) = 4$, sonra $g(4) = 4 - 1 = 3$
$g(3) = 9$, sonra $f(9) = 18$
$g(x) = x + 1$, sonra $f(x + 1) = (x + 1) + 5 = x + 6$

Sonraki ders: Grafik Okuma.

--- title: "Fonksiyon Bileşkesi" subtitle: "f(g(x)) — sinir ağının iskeleti" --- Bir fonksiyonun çıktısını başka bir fonksiyona girdi yapmaya **bileşke** denir. Basit görünür ama derin öğrenmenin kavramsal anahtarıdır: bir sinir ağı, üst üste binmiş fonksiyonların bileşkesinden başka bir şey değildir. ## Bileşke nedir? $f(g(x))$ ifadesi şu sırayı söyler: **önce $g$'yi uygula, sonra çıkan sonuca $f$'yi uygula.** Gösterimi: $$(f \circ g)(x) = f(g(x))$$ Bunu zincirlenmiş makineler gibi düşün — birinin çıktısı diğerinin girdisidir: ```{python} #| label: fig-bileske #| fig-cap: "Fonksiyon bileşkesi $f(g(x))$: girdi önce $g$ makinesinden geçer, onun çıktısı $g(x)$ sonra $f$ makinesine girer." #| echo: false import matplotlib.pyplot as plt from matplotlib.patches import FancyBboxPatch fig, ax = plt.subplots(figsize=(8, 2.6)) def machine(x0, label, color): box = FancyBboxPatch((x0, 0.3), 0.13, 0.4, boxstyle="round,pad=0.02", facecolor=color, alpha=0.15, edgecolor=color, linewidth=2, transform=ax.transAxes) ax.add_patch(box) ax.text(x0 + 0.065, 0.5, label, ha="center", va="center", fontsize=24, color=color, transform=ax.transAxes) def arrow(x1, x2): ax.annotate("", xy=(x2, 0.5), xytext=(x1, 0.5), xycoords="axes fraction", arrowprops=dict(arrowstyle="-|>", color="#374151", lw=2)) ax.text(0.04, 0.5, "$x$", ha="right", va="center", fontsize=18, transform=ax.transAxes) arrow(0.06, 0.22) machine(0.22, "$g$", "#D97706") arrow(0.35, 0.52) ax.text(0.435, 0.62, "$g(x)$", ha="center", va="bottom", fontsize=12, color="#6b7280", transform=ax.transAxes) machine(0.52, "$f$", "#15803D") arrow(0.65, 0.82) ax.text(0.9, 0.5, "$f(g(x))$", ha="left", va="center", fontsize=16, transform=ax.transAxes) ax.axis("off") plt.tight_layout() plt.show() ``` İçteki fonksiyon ($g$) önce çalışır, dıştaki ($f$) sonra. İfadeyi **içten dışa** doğru oku. ## Hesaplama Bir sayıyı koymak için içten başla. $f(x) = x + 1$ ve $g(x) = x^2$ olsun: $$f(g(2)): \quad g(2) = 4 \;\Rightarrow\; f(4) = 5$$ Formülün kendisini bulmak için $g(x)$'i $f$'nin içine yazarsın: $$f(g(x)) = f(x^2) = x^2 + 1$$ ## Sıra önemlidir Bileşkede sıra genellikle sonucu değiştirir: $f(g(x)) \neq g(f(x))$. Aynı $f$ ve $g$ ile ters sırayı dene: $$g(f(x)) = g(x + 1) = (x + 1)^2 = x^2 + 2x + 1$$ $x^2 + 1$ ile aynı değil — hangi makinenin önce çalıştığı önemlidir. ::: {.callout-important title="İçten dışa"} $f(g(x))$'te **içteki fonksiyon önce**, dıştaki sonra çalışır. Sırayı değiştirmek farklı bir fonksiyon verir; $f(g(x))$ ile $g(f(x))$ aynı şey değildir. ::: ::: {.callout-warning title="İki tuzak"} - $f(g(x))$ bir çarpım değildir: $f(g(x)) \neq f(x) \cdot g(x)$. Bileşke "uygulama"dır, çarpma değil. - Parantezleri içten dışa çöz; en içteki girdiyi en önce hesapla. ::: ## Örnek $f(x) = 2x$ ve $g(x) = x^2$ olsun: - $f(g(x)) = f(x^2) = 2x^2$ - $g(f(x)) = g(2x) = (2x)^2 = 4x^2$ — farklı. - Sayıyla: $f(g(3)) = f(9) = 18$; $g(f(3)) = g(6) = 36$. ::: {.callout-tip title="ML köprüsü"} Bir **sinir ağı, fonksiyon bileşkesinden ibarettir.** Her katman bir fonksiyondur; ağ bunları sırayla uygular: $$\text{çıktı} = f_n(\dots f_2(f_1(x)))$$ Her katman genelde bir **doğrusal parça** ($wx + b$, Doğrusal Fonksiyon ve Eğim dersi) ve onun üstüne bir **aktivasyon** ($\sigma$, ReLU — Üstel ve Logaritmik Fonksiyon dersi) bileşkesidir. Yani derin ağ = içten dışa zincirlenmiş yüzlerce makine. Eğitimde kullanılan **geri yayılım (backprop)**, bu bileşkenin türevini **zincir kuralıyla** hesaplar — zincir kuralı bizzat $f(g(x))$'in türev kuralıdır (kalkülüs sütununda göreceğiz). Bu dersteki bileşke, derin öğrenmenin iskeletidir. ::: ## Alıştırmalar $f(x) = x + 2$ ve $g(x) = 3x$ olsun (1–2): 1. $f(g(x)) = ?$ 2. $g(f(x)) = ?$ $f(x) = x^2$ ve $g(x) = x - 1$ olsun (3–4): 3. $f(g(2)) = ?$ 4. $g(f(2)) = ?$ 5. $f(x) = 2x$, $g(x) = x^2$ için $f(g(3)) = ?$ 6. $f(x) = x + 5$, $g(x) = x + 1$ için $f(g(x)) = ?$ ::: {.callout-note collapse="true" title="Çözümler (önce kendin dene, sonra aç)"} 1. $f(g(x)) = f(3x) = 3x + 2$ 2. $g(f(x)) = g(x + 2) = 3(x + 2) = 3x + 6$ (1'den farklı — sıra önemli) 3. $g(2) = 2 - 1 = 1$, sonra $f(1) = 1^2 = 1$ 4. $f(2) = 4$, sonra $g(4) = 4 - 1 = 3$ 5. $g(3) = 9$, sonra $f(9) = 18$ 6. $g(x) = x + 1$, sonra $f(x + 1) = (x + 1) + 5 = x + 6$ ::: --- *Sonraki ders: Grafik Okuma.*